Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

Adam Sikora

Metoda równania fali w badaniu eliptycznych i

podeliptycznych operatorów różniczkowych

drugiego rzȩdu

Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Prof. dr hab. Andrzeja Hulanickiego

Wrocław marzec 1994

1 Wstȩp

W 1968 roku L.Hörmander udowodnił, że jeżeli pola wektorowe X_{0}, ..., X_{n} na rozmaitości M spełniaja̧ nastȩpuja̧cy warunek:

Warunek Hörmandera, Pola wektorowe

X_{0}, ..., X_{n}

i ich komutatory (dowolnej długości) rozpinaja̧ przestrzeń styczna̧ w każdym punkcie M,

wtedy operator

L = X_{0} − X_{1}^{2} − ... − X_{n}^{2}

jest hypoeliptyczny [16]. Badanie operatora L, tzn. np. szacowanie ja̧dra rozwia̧zania podstawowego równania ciepła

∂_{t}u(t, x) + Lu(t, x) = 0,

wymaga wprowadzenia metryki na M zwia̧zenej z układem pól X_{0}, ..., X_{n}, nazywanej metryka̧ podriemannowska̧.

Najlepiej zbadana jest sytuacja gdy rozmaitość M jest grupa̧ Liego, a pola X_{0}, ..., X_{n} sa̧ lewostronnie niezmiennicze [27]. Niniejsza praca poświȩcona jest badaniu operatora L na pewnych grupach Liego, gdy pola X_{1}, ..., X_{n} spełniaja̧ warunek Hörmandera lub operatora Laplace’a-Beltramiego na rozmaitościach riemannowskich.

Myśla̧ przewodnia̧ niniejszej pracy jest wykorzystanie faktu skończonej szybkości propagacji fali.

Skończona prȩdkość propagacji fali Niech u(t, x) spełnia równanie

∂_{t}^{2}u(t, x) − Lu(t, x) = 0

z warunkiem pocza̧tkowym supp u(0, ·) ∪ supp ∂_{t}u(0, ·) ⊂ B(r). Wtedy supp u(t, ·) ⊂ B(r + t), gdzie B(r) jest kula̧ o promieniu r dla odpowiednio dobranej metryki zwia̧zanej z operatorem L.

Jest to wynik klasyczny dla operatora Laplace’a-Beltramiego. Wykorzystuja̧c fakt, że metryka podriemannowska jest granica̧ metryk riemannowskich otrzymujemy ten wynik również dla operatorów spełniaja̧cych warunek Hörmadera na grupach (przy założeniu X_{0} = 0). Pozwala to na wykorzystywanie klasycznego twierdzenia Paley-Wienara, co jest jednym z głównych narzȩdzi tej pracy.

W rozdziale 2 podsumowujemy dobrze znane fakty dotycza̧ce metryk podriemannowskich dowodza̧c jednocześnie tych twierdzeń, z których bȩdziemy korzystać. Zasadnicze znaczenie ma dla nas przedstawienie metryk podriemannowskich jako granicy metryk riemannowskich.

Zwia̧zany z tym problem istnienia podaddytywnej, jednorodnej i gładkiej normy na grupach jednorodnych jest omawiany w rozdziale 3. Podamy tu dowód istnienia takich norm pochodzacy z pracy [11].

Rozdział 4 zawiera dowód własności skończonej prȩdkości propagacji fali dla operatora Laplace’a-Beltramiego na zupełnych rozmaitościach riemannowskich i dla lewostronnie niezmienniczych operatorów podeliptycznych na grupach Liego. Dowód ten opiera siȩ na oszacowaniu ”energii” dla równania fali i wzorowany jest na klasycznym dowodzie dla operatora Laplace’a na R^{n}. Dla operatorów podeliptycznych udowodnimy własność skończonej prȩdkości propagacji, korzystaja̧c z przejść granicznych. W tym punkcie istotne okaża̧ siȩ własności metryk podriemannowskich. Z twierdzeń dotycza̧cych skończonej prȩdkości propagacji fali wyprowadzimy twierdzenia podobne do twierdzenia Paley-Wienera. Bȩda̧ one służyły jako jako narzȩdzie do dowodu zwartości nośników ja̧der operatorów mnożnikowych dla badanch przez nas operatorów.

W rozdziale 5 udowodnimy punktowe oszacowania dla ja̧der ciepła zwia̧- zanych z rozpatrywanymi przez nas operatorami. Otrzymane rezultaty sa̧ wzmocnieniem wyników otrzymanch przez Devisa i Varopoulosa. W świetle pracy Molchanowa sa̧ to oszacowania niemal optymalne.

Idea wykorzystania własności skończonej prȩdkości propagacji fali do badania ja̧dra ciepła pochodzi od Melrose. Jednak dziȩki innemu sposobowi powia̧zania równania fali i równania ciepła jesteśmy w stanie otrzymać mocniejsze rezultaty. W drugiej czȩści rozdziału 5 pokazujemy, że własność skończonej prȩdkości propagacji fali i oszacowania gausowskie dla ja̧der ciepła sa̧ równoważne. Zagadnienia rozpatrywane w tym rozdziale sa̧ tematem pracy [23].

Rozdział ostatni zawiera alternatywny dowód twierdzenia mnożnikowego M. Christa [1]. Pokazujemy jak wykorzystanie własności skończonej prȩdkości propagacji fali pozwala na otrzymanie bardzo prostego dowodu tego twierdzenia (patrz [22]).

Dziȩkujȩ mojemu promotorowi Andrzejowi Hulanickiemu za pomoc przy powstawaniu tej pracy. Dziȩkujȩ również Waldkowi Hebischowi i Jackowi Dziubańskiemu za cenne uwagi dotycza̧ce omawianych tu zagadnień.

2 Metryka podriemannowska

Rozdział ten poświȩcimy pojȩciu metryki podriemannowskiej, nazywanej też metryka̧ Carnota-Caratheorody’ego. Szersza̧ bibliografiȩ i uwagi dotycza̧ce historii tego pojȩcia można znaleźć w [24]. Nasze rozważania ograniczymy tutaj tylko do grup Liego.

Niech G bȩdzie spójna̧ grupa̧ Liego, a 𝔤 jej algebra̧ Liego. Elementy algebry 𝔤 bedziemy utożsamiać z lewoniezmienniczymi polami wektorowymi na grupie G. W dalszym cia̧gu tej pracy bȩdziemy czȩsto korzystać z warunku Hörmandera, który w przypadku pól lewoniezmienniczych na grupie Liego ma nastȩpuja̧ca̧ postać:

Definicja 2.1 Lewoniezmiennicze pola wektorowe X_{1}, …, X_{k} spełniaja̧ warunek Hörmandera, jeżeli generuja̧ 𝔤 jako algebrȩ Liego.

Nastȩpuja̧cy lemat podaje ważna̧ własność pól spełniaja̧cych warunek Hörmandera. Dowód tego lematu, który tu podamy, jest wzorowany na rozważaniach zawartych w rozdz. 3 [27].

Lemat 2.1 Niech G bȩdzie spójna̧ grupa̧ Liego i X_{1}, …, X_{k} rodzina̧ pól wektorowych spełniaja̧cych warunek Hörmandera. Wtedy każde dwa punkty x, y ∈ G można poła̧czyć krzywa̧ γ : [a, b] ↦ G, kawałkami gładka̧ taka, że dla wszystkich a ≤ t ≤ b, dla których wektor γ̇(t) styczny do krzywej γ w punkcie t istnieje, γ̇(t) ∈ lin{X_{1}, …, X_{k}}. Krzywa̧ spełniaja̧ca̧ powyższe warunki bȩdziemy nazywać kawałkami gładka̧ krzywa̧ dopuszczalna̧.

Aby pokazać lemat 2.1 udowodnimy najpierw

Lemat 2.2 Niech exp : 𝔤 ↦ G bȩdzie odwzorowaniem wykładniczym. Określmy odwzorowanie c_{i} : IR ↦ G indukcyjnie, wzorem

c_{1}(t) = exp(tX_{1}), (1)

c_{i}(t) = exp(tX_{i})c_{i−1}(t) exp(−tX_{i})c_{i−1}(t)^{−1},

gdzie X_{1}, …, X_{i} sa̧ elementami algebry 𝔤. Wtedy dla f ∈ C^{∞}(G) i g ∈ G

f(gc_{i}(t)) = f(g) + t^{i}([X_{i}, [X_{i−1}, …, X_{1}] …]f)(g) + O(t^{i+1}),

gdzie [X, Y] jest nawiasem Liego pól X i Y.

Dowód rozbijemy na dwa kroki.

Krok 1. Niech Q bȩdzie ła̧czna̧ algebra̧ z jednościa̧ i Q̂ algebra̧ formalnych szeregów potȩgowych zmiennej t o współczynnikach z Q. Dla z ∈ Q określmy e^{tz} ∈ Q̂ wzorem

e^{tz} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}z^{k}}{k!} .

Podobnie jak we wzorze (1) określmy c̃_{i} ∈ Q̂ indukcyjnie, formuła̧

c̃_{1}(t) = e^{tx_{1}},
c̃_{i}(t) = e^{tx_{i}} c̃_{i−1}(t)e^{−tx_{i}} c̃_{i−1}(t)^{−1},

gdzie x_{i} sa̧ elementami algebry Q. Wtedy

c̃_{i}(t) = 1 + t^{i}[x_{i}, [x_{i−1}, …, x_{1}] …] + O(t^{i+1}). (2)

Równość (2) rozumiemy tutaj w tym sensie, że w zapisie c̃_{i} poza członem 1 + t^{i}[x_{i}[x_{i−1} … x_{1}] …] wystȩpuȷa̧ tylko wyrażenia pomnożone przez t w potȩdze wiȩkszej od i.

Rzeczywiście dla i = 1 równość (2) jest oczywista, a nastȩpuja̧cy cia̧g tożsamości pokazuje poprawność kroku indukcyjnego

c̃_{i+1}(t) = e^{tx_{i+1}} c̃_{i}(t)e^{−tx_{i+1}} c̃_{i}(t)^{−1}
= e^{tx_{i+1}}(c̃_{i}(t) − 1)e^{−tx_{i+1}} c̃_{i}(t)^{−1} + c̃_{i}(t)^{−1}
= (1 + tx_{i+1})(c̃_{i}(t) − 1)(1 − tx_{i+1})c̃_{i}(t)^{−1} + c̃_{i}(t)^{−1} + O(t^{i+2})

= (c̃_{i}(t) − 1)c̃_{i}(t)^{−1} + t^{i+1}[x_{i+1}, [x_{i}, …, x_{1}] …] + c̃_{i}(t)^{−1} + O(t^{i+2}) = 1 + t^{i+1}[x_{i+1}, [x_{i}, …, x_{1}] …] + O(t^{i+2}).

Krok 2. Załóżmy teraz, że f ∈ C^{∞}(G) i dla X ∈ 𝔤 połóżmy F (t) = f(g exp(tX)). Wtedy

\frac{d^{n}}{dt^{n}} F (t) = X^{n}f(g exp(tX))

Szereg Taylora funkcji F ma wiȩc w punkcie t = 0 postać

∑_{i=0}^{∞} \frac{t^{i}}{i!}(X^{i}f)(g),

co bȩdziemy zapisywać jako (e^{tX}f)(g). Nastȩpnie wybierzemy Z_{1}, …, Z_{s} ∈ 𝔤 i zdefiniujemy funkcjȩ H wzorem

H(t_{1}, …, t_{s}) = f(g exp(t_{1}Z_{1}) … exp(t_{s}Z_{s}))

Zauważmy, że

\frac{∂^{m_{s}}}{∂t_{s}^{m_{s}}} H(t_{1}, …, t_{s−1}, 0) = Z_{s}^{m_{s}}f(gexp(t_{1}Z_{1}) … exp(t_{s−1}Z_{s−1}))

Iteruja̧c otrzymujemy

\frac{∂^{m_{1}+...+m_{s}}}{∂t_{1}^{m_{1}} … ∂t_{s}^{m_{s}}} H(0, …, 0) = Z_{1}^{m_{1}} … Z_{s}^{m_{s}}f(g).

Możemy wiȩc szereg Taylora funkcji H w punkcie (0, …, 0) zapisać jako

∑_{i_{1}=0}^{∞} … ∑_{i_{s}=0}^{∞} \frac{t_{1}^{i_{1}} … t_{s}^{i_{s}}}{i_{1}! … i_{s}!}Z_{1}^{m_{1}} … Z_{s}^{m_{s}}f(g). (3)

Wzór (3) możemy traktować jako element algebry formalnych szeregów potȩgowych nad algebra̧ obwiednia̧ algebry 𝔤, postaci

e^{t_{1}Z_{1}} … e^{t_{s}Z_{s}}f(g).

Jeśli teraz użyjemy wzoru (3) do obliczenia szeregu Taylora funkcji K(t) = f(gc_{i}(t)) i nastȩpnie skorzystamy z równości (2) udowodnionej w kroku 1, to z postaci szeregu Taylora dla funkcji K wynika, że

K(t) = f(g) + t^{i}([X_{i}, [X_{i−1}, …, X_{1}] …]f)(g) + O(t^{i+1}),

co dowodzi lematu 2.2.

Dowód lematu 2.1. Wybierzmy bazȩ Y_{1}, …, Y_{n} przestrzeni 𝔤 taka̧, że

Y_{i} = [V_{k_{i},i}, [V_{k_{i}−1,i}, …, V_{1,i}] …],

gdzie V_{l,s} ∈ lin{X_{1}, …, X_{k}}. Istnienie takiej bazy gwarantuja̧ nam założenia lematu 2.1. Zdefiniujmy funkcjȩ ϕ_{i} : IR ↦ G wzorem (1) po podstawieniu za wektory X_{s} wektorów V_{s,i}. Niech ψ : IR^{n} ↦ G bȩdzie określone wzorem

ψ(t_{1}, …, t_{n}) = g · ϕ_{1}(t_{1}^{1/k_{1}}) · . . . · ϕ_{n}(t_{n}^{1/k_{n}}).

Z lematu 2.2 wynika, że ψ jest klasy C^{1} i

\frac{∂}{∂t_{i}} ψ(0, …, 0) = Y_{i}.

Na mocy twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym wynika sta̧d, że obraz ψ zawiera pewne otwarte otoczenie punktu g. Łatwo jednak zauważyć, że wszystkie punkty z obrazu ψ można poła̧czyć z g krzywa̧ dopuszczalna̧. Z drugiej strony istnienie takiej krzywej ła̧cza̧cej punkty p, q ∈ G wprowadza na G relacjȩ równoważności, która rozbija G na klasy abstrakcji. Własności odwzorowania ψ pokazuja̧, że te klasy abstrakcji sa̧ zbiorami otwartymi. Na mocy założenia spójności cała grupa musi wiȩc należeć do jednej klasy abstrakcji, co dowodzi lematu 2.1.

Ze wzglȩdów technicznych wprowadźmy klasȩ dopuszczalnych krzywych Lipschitza. Odwzorowanie γ : [a, b] ↦ G bedziemy nazywać krzywa̧ Lipschitza jeżeli istnieje taka stała C, że ∥γ(t) − γ(s)∥ ≤ C∥t − s∥, gdzie odległość ∥γ(t)−γ(s)∥ jest liczona we współrzȩdnych lokalnych. Jeżeli γ spełnia powyższy warunek, to jej pochodna γ̇(t) istnieje prawie wszȩdzie i γ̇(t) ∈ L^{∞}. Odwzorowanie γ bedziemy nazywać dopuszczalna̧ krzywa̧ Lipschitza jeżeli jest ona krzywa̧ Lipschitza i ponadto γ̇(t) ∈ lin{X_{1}, …, X_{k}}, dla prawie wszystkich t ∈ [a.b].

Załóżmy teraz, że pola X_{1}, …, X_{k} spełniaja̧ warunek Hörmandera i wprowadźmy na przestrzeni lin{X_{1}, …, X_{k}} iloczyn skalarny < , >.

Definicja 2.2 Odległość podriemannowska̧ punktów p, q ∈ G (odpowiadaja̧ca̧ iloczynowi < , >) określmy wzorem

ρ(p, q) = inf ∫_{a}^{b} < γ̇, γ̇ >^{1/2} dt,

gdzie infimum jest brane po wszystkich dopuszczalnych krzywych Lipschitza takich, że γ(a) = p i γ(b) = q.

Z lematu 2.1 wynika, że

Lemat 2.3 Definicja 2.2 definiuje na G metrykȩ zgodna̧ z topologia̧ G.

Lemat 2.4, który udowodnimy poniżej pokazuje jak można otrzymać metrykȩ określona̧ w definicji 2.2 jako granicȩ metryk riemannowskich. Niech Y_{1}, …, Y_{k} bȩdzie baza̧ ortonormalna̧ przestrzeni lin{X_{1}, …, X_{k}} z iloczynem skalarnym < , >. Wybierzmy wektory Z_{1}, …, Z_{l} tak by wraz z wektorami Y_{1}, …, Y_{k} stanowiły bazȩ przestrzeni 𝔤 i określmy na 𝔤 iloczyn skalarny < , >_{ϵ} tak by wektory Y_{1}, …, Y_{k} i ϵZ_{1}, …, ϵZ_{k} były baza̧ ortonormalna̧ przestrzeni 𝔤 z iloczynem < , >_{ϵ}. Zdefiniujmy dalej ρ_{ϵ} jako lewoniezmiennicza̧ metrykȩ Riemanna odpowiadaja̧ca̧ iloczynowi < , >_{ϵ}. Wtedy

Lemat 2.4 Jeżeli ρ jest metryka̧ podriemanowska̧ określona̧ w definicji 2.2 dla iloczynu < , >, to dla wszystkich punktów p, q ∈ G

lim_{ϵ→0} ρ_{ϵ}(p, q) = ρ(p, q) (4)

Dowód. Z definicji iloczynu skalarnego < , >_{ϵ} wynika, że jeżeli ϵ_{1} ≥ ϵ_{2}, to dla każdego X ∈ 𝔤

< X, X >_{ϵ_{1}}≤< X, X >_{ϵ_{2}} . (5)

Ponadto jeżeli X ∈ lin{X_{1}, …, X_{k}}, to

< X, X >_{ϵ}=< X, X > . (6)

Na mocy lematu 2.1 dla wszystkich punktów p, q istnieje dopuszczalna krzywa Lipschitza ła̧cza̧ca te punkty i z (6) wynika, że ma ona w metryce odpowiadaja̧cej iloczynowi < , >_{ϵ} tȩ sama̧ długość co w metryce zdefiniowanej w 2.2 dla < , >. Ponieważ jednak w metryce riemannowskiej odległość jest liczona jako infimum po wiekszej rodzinie krzywych, to

ρ_{ϵ}(p, q) ≤ ρ(p, q) < ∞. (7)

Zauważmy ponadto, że na mocy (5) ρ_{ϵ}(p, q) jest nierosna̧ca̧ funkcja̧ ϵ i dlatego granica (4) istnieje. Połóżmy

ρ̄(p, q) = lim_{ϵ→0} ρ_{ϵ}(p, q)

Niech krzywa γ_{ϵ} : [0, 1] ↦ G, ϵ > 0 bȩdzie geodezyjna̧ realizuja̧ca̧ minimum odległości miedzy punktami p i q w metryce wyznaczonej przez iloczyn skalarny < , >_{ϵ}. Z własności geodezyjnych wynika, że

< γ̇_{ϵ}(t), γ̇_{ϵ}(t) >_{ϵ}= ρ_{ϵ}(p, q)^{2}, (8)

dla t ∈ [0, 1]. Na mocy (5), (7) i (8) mamy

< γ̇_{ϵ}(t), γ̇_{ϵ}(t) >_{1}≤ ρ(p, q)^{2} dla ϵ ≤ 1.

Sta̧d na mocy twierdzenia Arzeli-Ascoliego wynika, że możemy wybrać taki cia̧g ϵ_{n} ↘ 0 by krzywe γ_{ϵ_{n}} były zbieżne jednostajnie do pewnej cia̧głej krzywej γ. Zauważmy, że ponieważ ρ_{ϵ}(p, q) jest nierosna̧ca̧ funkcja̧ ϵ, to

ρ_{ϵ}(γ(t), γ(s)) = lim_{n→∞} ρ_{ϵ}(γ_{ϵ_{n}}(t), γ_{ϵ_{n}}(s))

≤ sup_{n} ρ_{ϵ_{n}}(γ_{ϵ_{n}}(t), γ_{ϵ_{n}}(s)) = ρ̄(p, q)|t − s|

dla ϵ > 0. Wynika sta̧d, że γ jest krzywa̧ Lipschitza, wiȩc γ̇ istnieje prawie wszȩdzie i < γ̇(t), γ̇(t) >_{ϵ}≤ ρ̄(p, q)^{2} < ∞. (9)

Łatwo jednak zauważyć, że jesli X ∉ lin{X_{1}, …, X_{k}}, to

lim_{ϵ→0} < X, X >_{ϵ}= ∞.

Sta̧d γ̇(t) ∈ lin{X_{1}, …, X_{k}.} dla prawie wszystkich t i z (6) i (9) mamy

∫_{0}^{1} < γ̇, γ̇(t) >^{1/2}= ∫_{0}^{1} < γ̇, γ̇(t) >_{ϵ}^{1/2}≤ ρ̄(p, q),

co wspólnie z (7) dowodzi lematu 2.4.

3 Gładka podaddytywna norma jednorodna na grupie jednorodnej.

Definicja 3.1 Niech G bȩdzie spójna̧ i jednospójna̧ grupa̧ Liego. Jednoparametrowa̧ rodzinȩ automorfizmów grupy G {δ_{t}}_{t>0} (δ_{t} ∘ δ_{s} = δ_{ts}) nazwiemy rodzina̧ dylatacji, jeżeli pochodne d_{e}δ_{t} : 𝔤 → 𝔤 odwzorowań δ_{t} w elemencie neutralnym e grupy G wyrażaja̧ siȩ wzorem

d_{e}δ_{t} e_{j} = t^{d_{j}}e_{j},

gdzie e_{1}, …, e_{n} jest pewna̧ baza̧ liniowa̧ 𝔤 a d_{j} sa̧ liczbami rzeczywistymi takimi, że d_{n} ≥ … ≥ d_{1} ≥ 1. Jeżeli na grupie G istnieje taka rodzina dylatacji, to G bȩdziemy nazywać grupa̧ jednorodna̧. Liczbȩ Q określona̧ jako

Q = ∑ d_{i} (10)

bȩdziemy nazywać wymiarem jednorodnym grupy G.

Każda grupa jednorodna jest nilpotentna, a odwzorowanie wykładnicze jest dyfeomorfizmem z algebry Liego tej grupy na sama̧ grupȩ ([8] Proposition (1.2) i (1.3)). W dalszym cia̧gu tego rozdziału bȩdziemy utożsamiać grupȩ G z jej algera̧ Liego 𝔤 poprzez odwzorowane wykładnicze. Przy tym utożsamieniu odwzorowanie d_{e}δ_{t} jest tożsame z odwzorowaniem δ_{t}.

Celem tego rozdziału jest udowodnienie, że na każdej grupie jednorodnej istnieje gładka podaddytywna norma jednorodna.

Definicja 3.2 Funkcjȩ ∥ · ∥ : G → IR_{+} ∪ {0} bȩdziemy nazywać gładka̧ podaddytywna̧ norma̧ jednorodna̧, jeżeli spełnia ona nastȩuja̧ce warunki

(a) ∥xy∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥,  (b) ∥δ_{t}x∥ = t∥x∥,
(c) ∥x∥ = 0 ↔ x = e,  (d) ∥x∥ = ∥x^{−1}∥,
(e) ∥ · ∥ jest cia̧gła,  (f) ∥ · ∥ jest gładka na G − {e}.

Dowód istnienia gładkiej normy jednorodnej na grupie jednorodnej zaczniemy od dowodu nastȩpuja̧cego lematu

Lemat 3.1 Istnienie normy ∥ · ∥ spełniaja̧cej warunki (a)-(e) jest równoważne istnieniu zbioru A ∈ G spełniaja̧cego nastȩpuja̧ce warunki:

(α) A jest otwarty i Ā jest zwarty,

(β) A jest wypukły tzn. jeżeli x, y ∈ A i 0 ≤ t ≤ 1, to δ_{t}x · δ_{1−t}y ∈ A, (γ) A jest symetryczny to znaczy jeżeli x ∈ A, to x^{−1} ∈ A.

Ponadto, jeżeli

(ϵ) (i) brzeg ∂A zbioru A jest gładka̧ rozmaitościa̧,
(ii) (d/dt)δ_{t}x|_{t=1} ∉ T_{x}(∂A) dla wszystkich x ∈ ∂A,

to normȩ ∥ · ∥ można określić tak by spełniała ona również warunek (f).

Dowód. Niech A bȩdzie zbiorem spełniaja̧cym warunki (α)-(γ). Zdefiniujmy normȩ ∥ · ∥ wzorem

∥x∥ = inf{t : δ_{1/t}x ∈ A}. (11)

Wtedy, jeżeli ∥x∥ < ϵ i ∥y∥ < ϵ′, to δ_{1/ϵ}x ∈ A i δ_{1/ϵ′}x ∈ A i na mocy (β)

δ_{1/(ϵ+ϵ′)}xy = δ_{ϵ/(ϵ+ϵ′)}δ_{1/ϵ}x · δ_{ϵ′/(ϵ+ϵ′)}δ_{1/ϵ′}y ∈ A,

czyli ∥xy∥ < ϵ + ϵ′, co dowodzi warunku (a). Sprawdzenie pozostałych warunków jest łatwe. Implikacjȩ odwrotna̧ otrzymamy kłada̧c

A = {x : ∥x∥ < 1}.

Zauważmy, że jeżeli norma ∥ · ∥ jest zdefiniowana wzorem (11), to warunki (ϵ) i (f) sa̧ równoważne.

Twierdzenie 3.1 Dla każdej grupy jednorodnej G istnieje zbiór A spełniaja̧cy warunki (α)-(ϵ), a wiȩc na G istnieje również norma spełniaja̧ca warunki (a)-(f).

Dowód. Jeżeli G jest abelowa, to

A = {x = (x_{1}, …, x_{n}) : ∑_{1}^{n} x_{i}^{2} < 1}.

Aby pokazać, że A spełnia warunek (β) zauważmy, że d_{i} ≥ 1, wiȩc

(∑(t^{d_{i}}x_{i} + (1 − t)^{d_{i}}y_{i})^{2})^{1/2} ≤ (∑(t^{d_{i}}x_{i})^{2})^{1/2} + (∑((1 − t)^{d_{i}}y_{i})^{2})^{1/2}

≤ t(∑ x_{i}^{2})^{1/2} + (1 − t)(∑ y_{i}^{2})^{1/2}.

Warunki (α),(γ) i (ϵ) sa̧ spełnione w sposób oczywisty.

Zauważmy teraz, że jeżeli G nie jest grupa̧ abelowa̧, to d_{n} ≥ 2 i e_{n} jest w centrum G, bo δ_{t}([e_{i}, e_{j}]) = [δ_{t}e_{i}, δ_{t}e_{j}] = t^{d_{i}+d_{j}}[e_{i}, e_{j}], (12) a założyliśmy, że 1 ≤ d_{1} ≤ … ≤ d_{n}. Na mocy wzoru Campbella-Hausdorffa mamy

(x_{1}, …, x_{n}) · (y_{1}, …, y_{n}) = (x_{1} + y_{1} + P_{1}(x_{1}, …, x_{n−1}, y_{1}, …, y_{n−1}), …, x_{n} + y_{n} + P_{n}(x_{1}, …, x_{n−1}, y_{1}, …, y_{n−1})),

gdzie P_{i} sa̧ wielomianami i ponadto ponieważ e_{n} jest w centrum G, to P_{i} nie zależy ani od x_{n} ani od y_{n}.

Dowód bȩdziemy kontynuować indukcyjnie ze wzglȩdu na wymiar grupy dim G. Niech A′ bȩdzie podzbiorem grupy ilorazowej

G′ = G/lin{e_{n}} = {x̄ = (x_{1}, …, x_{n−1} : x_{i} ∈ IR}

spełniaja̧cym warunki (α)-(ϵ) i ∥ · ∥′ odpowiadaja̧ca̧ mu norma̧. Zauważmy teraz , że istnieje taka stała C, że

(13) |P_{n}(δ_{t}x, δ_{1−t}y)| ≤ 2Ct(1 − t) dla wszystkich x, y ∈ A′, 0 ≤ t ≤ 1.

Rzeczywiście, ponieważ P_{n}(x, 0) = P_{n}(0, y) = 0, widzimy, że każdy jednomian w P_{n} zależy jednocześnie od x i y, wiȩc ponieważ zbiór A′ jest ograniczony, to dla pewnej stałej C nierówność (13) zachodzi. Dalej dla x = (x_{1}, …, x_{n}), połóżmy x̄ = (x_{1}, …, x_{n−1}). Pokażemy teraz, że jeżeli C jest stała̧ z nierówności (13), a f jest taka̧ funkcja̧, że f ∈ C^{∞}(0, 1), f′ ≤ 0, f′′ ≤ 0, f(0) = 1, f(1) = 0, f^{(k)}(0) = 0, f^{(k)}(1) = −∞ dla k = 1, 2, …, to zbiór

A = {x ∈ G : x̄ ∈ A′ i |x| < C + f(∥x̄∥′)}

również spełnia warunki (α)-(ϵ).

Uwaga. Jeżeli założymy, że f = 0, to powyższa konstrukcja daje zbiór spełniaja̧cy warunki (α)-(γ) nie spełniaja̧cy jednak warunku (ϵ).

Dowód warunków (α)-(ϵ) dla A. Warunki (α) i (γ) sa̧ spełnione w sposób oczywisty. Aby pokazać warunek (β) zauważmy, że jeśli x, y ∈ A, to

\overline{δ_{t}x · δ_{1−t}y} = δ_{t}x̄ · δ_{1−t}ȳ ∈ A′.

Dlatego wystarczy, jeżeli pokażemy nastȩpuja̧ca̧ nierówność

|t^{d_{n}}x_{n} + (1 − t)^{d_{n}}y_{n} + P_{n}(δ_{t}x̄, δ_{1−t}y)| < C + f(∥δ_{t}x̄ · δ_{1−t}ȳ∥′).

Ale d_{n} ≥ 2, 0 ≤ t ≤ 1, f′ ≤ 0, f′′ ≤ 0. Sta̧d, ponieważ na mocy założenia indukcjnego norma ∥ · ∥′ spełnia warunki (a) i (b), to

|t^{d_{n}}x_{n} + (1 − t)^{d_{n}}y_{n} + P_{n}(δ_{t}x̄, δ_{1−t}ȳ)|
< t^{2}(C + f(∥x̄∥′)) + (1 − t)^{2}(C + f(∥ȳ∥′)) + 2Ct(1 − t)
≤ C(t^{2} + 2t(1 − t) + (1 − t)^{2}) + tf(∥x̄∥′) + (1 − t)f(∥ȳ∥′)
≤ C + f(t∥x̄∥′ + (1 − t)∥ȳ∥′) ≤ C + f(∥δ_{t}x̄ · δ_{1−t}ȳ∥′).

Warunek(ϵ)(i) jest oczywisty. Warunek (ϵ)(ii) udowodnimy najpierw dla takich x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ∂A, że |x_{n}| < C. Wtedy x̄ ∈ ∂A′ i T_{x}(∂A) = Tx̄(∂A′) ⊕ IRe_{n}. Dlatego, jeżeli (d/dt)δ_{t}x|_{t=1} ∈ T_{x}(∂A), to \overline{(d/dt)δ_{t}x|_{t=1}} ∈ Tx̄(∂A′). Ale to jest sprzeczne z założeniem indukcyjnym. Zauważmy teraz, że zbiór ∂A ∩ {x ∈ IR^{n} : x_{n} > C} jest wykresem funkcji g(x̄) = f(∥x̄∥′) g : A′ ↦ IR i że jeżeli wektor v = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ T_{x̄,g(x̄)}M, gdzie M jest wykresem funkcji g, to v_{n} = (d/dt)g(x̄ + tv̄) = (v̄g)(x̄). Dlatego, jeżeli (d/dt)δ_{t}x|_{t=1} ∈ T_{x}(∂A), gdzie x = (x̄, C + f(∥x̄∥′)), to na mocy definicji funkcji f (f′ ≤ 0),

0 < d_{n}x_{n} = ((d/dt)δ_{t}x̄|_{t=1})(C + f(∥x̄∥′))
= (d/dt)f(∥δ_{t}x̄∥′)|_{t=1} = (d/dt)f(t∥x̄∥′)|_{t=1} = f′(∥x̄∥′)∥x̄∥′ ≤ 0.

Powyższa sprzeczność dowodzi warunku (ϵ)(ii) dla ∂A ∩ {x ∈ IR^{n} : x_{n} > C}. Warunek (ϵ)(ii) dla zbioru ∂A ∩ {x ∈ IR^{n} : x_{n} < −C} wynika z symetrii.

Twierdzenie 3.2, które sformułujemy poniżej pokazuje przykład bardzo prostego zbioru wypukłego, to znaczy zbioru spełniaja̧cego warunki (α)-(ϵ). Sprawdzenie tych warunków jest jednak trudniejsze niż w twierdzeniu 3.1.

Twierdzenie 3.2 Niech G bȩdzie grupa̧ jednorodna̧ i x = (x_{1}, …, x_{n}) jednorodnymi współrzȩdnymi (δ_{t}x = (t_{d_{1}}x_{1}, …, t_{d_{n}}x_{n})). Istnieje takie ϵ > 0, że dla wszystkich r < ϵ zbiór

A = {x : ∑ x_{i}^{2} < r^{2}}

spełnia warunki (α)-(ϵ). W rezultacie istnieje taka podaddytwna norma jednorodna na G

∥x∥′ = inf{t : ∥δ_{1/t}x∥ < r},

że kula jednostkowa dla tej normy {x : ∥x∥′ < 1} pokrywa siȩ z kula̧ w metryce euklidesowej {x : ∥x∥ < r} (∥x∥^{2} = ∑ x_{i}^{2}).

Dowód. Sprawdzimy tylko warunek (β) ponieważ pozostałe warunki sa̧ oczywiste. Określmy

V_{1} = lin{e_{i} : d_{i} < 2}, V_{2} = lin{e_{i} : d_{i} ≥ 2}.

Wtedy jako przestrzeń liniowa G = V_{1} ⊕ V_{2}. Ponieważ d_{k} ≥ 1, to z (12) wynika, że [x, y] ∈ V_{2} dla wszystkich x, y ∈ G. Dlatego, jeżeli x = (x_{1}, x_{2}) i y = (y_{1}, y_{2}), to

x · y = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2} + R(x, y)).

Połóżmy R_{1}(x, y) = R((x_{1}, 0), (y_{1}, 0)) i R_{2} = R − R_{1}. Ze wzoru Campbella-Hausdorffa wynika, że istnieje taka stała C′_{1}, że jeżeli ∥x∥, ∥y∥ < 1, to

∥R_{1}(x, y)∥ ≤ C′_{1}∥[x_{1}, y_{1}]∥.

Dlatego, na mocy nierówności

∥[x, y]∥ ≤ C′′_{1}∥x∥∥y∥∥x/∥x∥ − y/∥y∥∥,

która jest prosta̧ konsekwencja̧ dwuliniowości i antysymetrii nawiasu Liego [ , ], dla pewnej stałej C_{1} mamy,

∥R_{1}(x, y)∥ ≤ C_{1}∥x_{1}∥∥y_{1}∥∥x_{1}/∥x_{1}∥ − y_{1}/∥y_{1}∥∥, (14)

dla wszystkich ∥x∥, ∥y∥ < 1. Również ze wzoru Campbella-Hausdorffa wynika, że istnieje taka stała C′, że dla wszystkich ∥x∥, ∥y∥ < 1

∥R_{2}(x, y)∥ ≤ C′(∥x_{1}∥∥y_{2}∥ + ∥x_{2}∥∥y_{1}∥ + ∥x_{2}∥∥y_{2}∥). (15)

Nastȩpnie połóżmy

v = δ_{t}x_{2} + δ_{1−t}y_{2} + R_{2}(δ_{t}x, δ_{1−t}y).

Na mocy definicji d_{i} ≥ 2 dla e_{i} ∈ V_{2}, dlatego z (15) wynika, że

∥v∥ ≤ t^{2}∥x_{2}∥ + (1 − t)^{2}∥y_{2}∥ + C′t(1 − t)(∥x_{1}∥∥y_{2}∥ + ∥x_{2}∥∥y_{1}∥ + ∥x_{2}∥∥y_{2}∥).

Jeżeli poza tym założymy, że C′(∥x_{1}∥ + ∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥) ≤ 1/2 i 0 ≤ t ≤ 1, to

∥v∥ ≤ t^{2}∥x_{2}∥ + (1 − t)^{2}∥y_{2}∥ + \frac{1}{2}t(1 − t)(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥) ≤ ∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥

i ponadto

∥v∥ ≤ t^{2}∥x_{2}∥ + (1 − t)^{2}∥y_{2}∥ + \frac{1}{2}t(1 − t)(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥)

= t∥x_{2}∥ + (1 − t)∥y_{2}∥ − \frac{1}{2}t(1 − t)(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥).

Dlatego

∥v∥ + \frac{1}{2}t(1 − t)(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥) ≤ t∥x_{2}∥ + (1 − t)∥y_{2}∥

i ∥v∥^{2}(1 + t(1 − t)) ≤ ∥v∥^{2} + t(1 − t)∥v∥(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥) (16)

≤ (∥v∥ + \frac{1}{2}t(1 − t)(∥x_{2}∥ + ∥y_{2}∥))^{2} ≤ (t∥x_{2}∥ + (1 − t)∥y_{2}∥)^{2}.

Z drugiej strony jeżeli (x, y) = ∑ x_{i}y_{i} jest iloczynem skalarnym, to

2(v_{1}, v_{2}) ≤ t(1 − t)∥v_{1}∥^{2} + 4∥v_{2}∥^{2}/(t(1 − t)).

Sta̧d ∥v + R_{1}(δ_{t}x, δ_{1−t}y)∥^{2} ≤ ∥v∥^{2}(1 + t(1 − t)) (17)

+∥R_{1}∥^{2}[1 + 4/(t(1 − t))].

Zauważmy ponadto, że (∥x∥ + ∥y∥)^{2} = ∥x + y∥^{2} + ∥x∥∥y∥∥x/∥x∥ − y/∥y∥∥^{2}. (18) Ostatecznie z (14),(16),(17) i (18) otrzymujemy

∥δ_{t}x · δ_{1−t}y∥^{2} = ∥δ_{t}x_{1} + δ_{1−t}y_{1}∥^{2} + ∥v + R_{1}(δ_{t}x, δ_{1−t}y)∥^{2}

≤ (∥δ_{t}x_{1}∥ + ∥δ_{1−t}y_{1}∥)^{2} − ∥δ_{t}x_{1}∥∥δ_{1−t}y_{1}∥ ×∥δ_{t}x_{1}/∥δ_{t}x_{1}∥ − δ_{1−t}y_{1}/∥δ_{1−t}y_{1}∥∥^{2}

+∥v∥^{2}(1 + t(1 − t)) + ∥R_{1}∥^{2}[1 + 4/(t(1 − t))] ≤ (t∥x_{1}∥ + (1 − t)∥y_{1}∥)^{2} + (t∥x_{2}∥ + (1 − t)∥y_{2}∥)^{2} +[1 + 4/(t(1 − t))]C_{1}^{2}t(1 − t)∥x_{1}∥∥y_{1}∥∥δ_{t}x_{1}∥∥δ_{1−t}y_{1}∥

×∥δ_{t}x_{1}/∥δ_{t}x_{1}∥ − δ_{1−t}y_{1}/∥δ_{1−t}y_{1}∥∥^{2}

−∥δ_{t}x_{1}∥∥δ_{1−t}y_{1}∥∥δ_{t}x_{1}/∥δ_{t}x_{1}∥ − δ_{1−t}y_{1}/∥δ_{1−t}y_{1}∥∥^{2}.

Jednak, jeżeli 5C_{1}^{2}∥x_{1}∥∥y_{1}∥ < 1 to suma ostatnich dwóch wyrażeń jest niedodatnia i

∥δ_{t}x · δ_{1−t}y∥^{2} ≤ (t∥x_{1}∥ + (1 − t)∥y_{1}∥)^{2} + (t∥x_{2}∥ + (1 − t)∥y_{2}∥)^{2}
≤ (t∥x∥ + (1 − t)∥y∥)^{2}

Nierówność ta dowodzi twierdzenia 3.2.

Uwaga. Ważna̧ podklasa̧ algebr jednorodnych sa̧ algebry stratyfikowane.

Definicja 3.3 Powiemy, że algebra 𝔤 jest algebra̧ stratyfikowana̧, jeżeli istnieje taka rodzina podprzestrzeni liniowych 𝔤_{i} algebry 𝔤, że

𝔤 = ⊕_{i=1}^{l}𝔤_{i},

gdzie ⊕ jest suma̧ prosta̧ przestrzeni liniowych,

[𝔤_{j}, 𝔤_{i}] ⊂ 𝔤_{i+j} (19)

i ponadto 𝔤_{1} generuje 𝔤 jako algebrȩ Liego.

Na każdej algebrze stratyfikowanej możemy zdefiniować rodzinȩ dylatacji wzorem

δ_{t}x = t^{i}x,

dla x ∈ 𝔤_{i}. Odpowiadaja̧ca algebrze 𝔤 jednospójna grupa G jest wtedy grupa̧ jednorodna̧. Jeżeli algebra 𝔤 jednorodnej grupy Liego G jest stratyfikowana to możemy uzyskać podaddtywna̧ normȩ jednorodna̧ na G wprowadzaja̧c na podprzestrzeni 𝔤_{1} iloczyn skalarny i rozpatruja̧c odpowiadaja̧ca̧ mu metrykȩ podriemannowska̧ ρ(·, ·) określona̧ w definicji 2.2. Nietrudno zauważyć, że funkcja |g| = ρ(e, g) spełnia warunki (a)-(e) z definicji 3.2. Jednak nie wszystkie grupy jednorodne sa grupami stratyfikowanymi i nawet w przypadku grup stratyfikowanych otrzymana w ten sposób norma jednorodna zazwyczaj nie jest gładka.

4 Skończona prȩdkość propagacji rozwia̧zań równania fali.

Niech M bȩdzie spójna̧ i zupełna̧ rozmaitościa̧ riemannowska̧, a dx gładka̧, dodatnia̧, nigdzie nie znikaja̧ca̧ miara̧ określona̧ na M. Przez B(r, x) bȩdziemy oznaczać kulȩ o środku w punkcie x i promieniu r. Zdefiniujmy operator 𝔏 wzorem 𝔏f = −div grad f, (20)

gdzie div jest dywergencja̧ wzglȩdem miary dx (patrz [10] wzór (7.6) str. 370). Nastȩpnie przez L bȩdziemy oznaczać rozszerzenie Friedrichsa operatora 𝔏 (patrz [4] Theorem 1.2.8 str. 10). Operator L jako rozszerzenie Fridriechsa symetrycznego i dodatnio określonego operatora 𝔏 jest samosprzȩżony na L^{2}(dx). Dla ograniczonej funkcji borelowskiej F : [0, ∞) ↦ IC możemy zdefiniować operator F (L) : L^{2}(dx) → L^{2}(dx) wzorem

F (L) = ∫_{0}^{∞} F (λ) dE(λ), (21)

gdzie E(λ) jest rozkładem spektralnym operatora L. Z twierdzenia Schwartza o ja̧drach operatorów ([15] Theorem 5.2.3 str. 128) wynika, że istnieje ja̧dro operatora F (L), to znaczy taka dystrybucja K_{F (L)}(x, y), że

F (L)(ϕ)(x) = ∫_{M} ϕ(y)K_{F (L)}(x, y) dy, (22)

dla funkcji ϕ ∈ C_{c}^{∞}(M). Niech

C_{t}(λ) = cos(tλ),

(23)

S_{t}(λ) = \frac{sin(tλ)}{λ}.

Własność skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zań równania fali możemy sformułować w postaci nastȩpuja̧cego twierdzenia

Twierdzenie 4.1 Jeżeli ρ(·, ·) jest odległościa̧ riemannowska̧ na rozmaitości M odpowiadaja̧ca̧ operatorowi L, to

supp K_{C_{t}(\sqrt{L})} ⊂ \{(x, y) ∈ M^{2} : ρ(x, y) ≤ t\}, (24)

supp K_{S_{t}(\sqrt{L})} ⊂ \{(x, y) ∈ M^{2} : ρ(x, y) ≤ t\}. (25)

Uwaga 1. Inny dowód twierdzenia 4.3 można znaleźć na przykład w [25] rozdz. IV. Dowód prezentowany przez nas poniżej jest uogólnieniem dowodu skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zań równania fali dla klasycznego laplasjanu na przestrzeni IR^{n} z [7].

2. Korzystaja̧c z twierdzenia 4.2, które udowodnimy poniżej, można pokazać, że wzór (25) wynika z (24), umieszczamy go jednak w tezie twierdzenia 4.1 ze wzglȩdu na potrzeby dowodu.

W naszym dowodzie twierdzenia 4.1 kluczowy bȩdzie nastȩpuja̧cy lemat

Lemat 4.1 Załóżmy, że funkcja Φ ∈ C^{∞}(M × IR) spełnia równanie fali, to znaczy ∂_{t}^{2}Φ(x, t) = −𝔏Φ(x, t). (26)

Wtedy dla każdego y ∈ M istnieje taka liczba c_{y} > 0, że funkcja

P (t) = ∫_{B(c_{y}−t,y)} < grad Φ, grad Φ > +|∂_{t}Φ|^{2} dx

jest dla 0 < t < c_{y} funkcja̧ niemaleja̧ca̧.

Dowód. Aby udowodnić lemat 4.1 wystarczy pokazać, że

∂_{t}P (t) = ∂_{t} ∫_{B(c_{y}−t,y)} < grad Φ, grad Φ > +|∂_{t}Φ|^{2} dx ≤ 0.

Wybierzmy c_{y} w taki sposób by odwzorowanie wykładnicze dla rozważanej metryki riemannowskiej było dyfeomorfizmem z kuli w przestrzeni T_{y}M na kulȩ B(c_{y}, y). Nastȩpnie zauważmy, że w tym obszarze wektor styczny do geodezyjnej jest jednocześnie wektorem normalnym do sfery wiȩc dla t ≤ c_{y}

∂_{t} ∫_{B(t,y)} ϕ dx = ∫_{∂B(t,y)} ϕ dσ,

gdzie dσ jest miara̧ powierzchniowa̧ na ∂B. Sta̧d

∂_{t}P (t) = ∫_{B(c_{y}−t,y)} 2 < grad Φ, grad ∂_{t}Φ > + 2∂_{t}Φ∂_{t}^{2}Φ dx (27)

− ∫_{∂B(c_{y}−t,y)} < grad Φ, grad Φ > + |∂_{t}Φ|^{2} dσ.

Połóżmy teraz X_{t} = grad Φ i ϕ_{t} = ∂_{t}Φ tak, że X_{t} jest gładkim polem wektorowym i ϕ_{t} ∈ C^{∞}(M). Na mocy definicji gradientu

< grad ϕ_{t}, X_{t} >= X_{t}ϕ_{t} (28)

Z drugiej strony dla dowolnego gładkiego pola wektorowego X i funkcji ϕ ∈ C^{∞}(M) div ϕX = ϕ div X + Xϕ, (29)

([10] twierdzenie 7.10 str. 371). Korzystaja̧c z (28), podstawiaja̧c X_{t} i ϕ_{t} do wzoru (29) i zauważaja̧c, że div X_{t} = −𝔏Φ na mocy (26) otrzymujemy

< grad ∂_{t}Φ, grad Φ >= X_{t}ϕ_{t} (30)

= div (ϕ_{t}X_{t}) − ϕ_{t}div X_{t} =
div (∂_{t}Φgrad Φ) − ∂_{t}Φ(−𝔏Φ)
= div (∂_{t}Φgrad Φ) − ∂_{t}Φ∂_{t}^{2}Φ.

Na mocy (27) i (30) mamy

∂_{t}P (t) = ∫_{B(c_{y}−t,y)} 2 div (∂_{t}Φgrad Φ)− ∫_{∂B(c_{y}−t,y)} < grad Φ, grad Φ > +|∂_{t}Φ|^{2}dσ.

Oznaczmy przez n⃗ wektor normalny do powierzchni ∂B(c_{y} − t, y). Z twierdzenia o dywergencji mamy

∫_{B(c_{y}−t,y)} 2 div (∂_{t}Φgrad Φ) dx = 2 ∫_{∂B(c_{y}−t,y)} < n⃗, ∂_{t}Φgrad Φ > dσ

≤ ∫_{∂B(c_{y}−t,y)} < grad Φ, grad Φ > +|∂_{t}Φ|^{2} dσ,

co kończy dowód lematu 4.1 (porównaj [7] rozdz. 5, str. 209-215).

Korzystaja̧c z lematu 4.1 łatwo możemy otrzymać twierdzenie 4.1. Zauważmy najpierw, że jeżeli ϕ, ψ ∈ C_{c}^{∞}(M), a funkcja Ψ : M × IR ↦ IR jest określona wzorem

Ψ(x, t) = C_{t}(\sqrt{L})(ϕ)(x) + S_{t}(\sqrt{L})(ψ)(x), (31)

to Ψ ∈ C^{∞}(M × IR) spełnia równanie (26) z warunkami pocza̧tkowymi

Ψ(x, 0) = ϕ(x),
∂_{t}Ψ(x, 0) = ψ(x).

Z lematu 4.1 wynika, że jeżeli c_{x} > t, to dla wszyskich funkcji ϕ, ψ ∈ C_{c}^{∞}(M) takich, że

(32) dist{x, supp ϕ ∪ supp ψ} > t,

mamy Ψ(x, t) = 0. Sta̧d

(33) supp K_{C_{t}(\sqrt{L})}(x, ·) = supp K_{C_{t}(\sqrt{L})}(·, x) ⊂ B(t, x),

(34) supp K_{S_{t}(\sqrt{L})}(x, ·) = supp K_{S_{t}(\sqrt{L})}(·, x) ⊂ B(t, x).

Operatory S_{t}(\sqrt{L}) i C_{t}(\sqrt{L}) w mocnej topologii operatorowej sa̧ cia̧głymi funkcjami zmiennej t. Dlatego dla danego punktu x ∈ M zbiór tych t, dla których warunki (33) i (34) sa̧ spełnione jest domkniȩty. Sta̧d albo (33) i (34) jest prawda̧ dla wszystkich t, albo spośród takich liczb t_{1}, że dla wszystkich 0 ≤ t ≤ t_{1} spełnione sa̧ inkluzje (33) i (34), można wybrać liczbȩ najwiȩksza̧. Na mocy założenia zupełności rozpatrywanej metryki riemannowskiej kula B(t_{1} + 1, x) jest zbiorem zwartym i dlatego istnieje taka stała c > 0, że dla każdego y ∈ B(t_{1} + 1, x) c_{y} > c, gdzie c_{y} jest stała̧ z lematu 4.1. Z lematu 4.1 wynika teraz, że jeżeli funkcje ϕ, ψ ∈ C_{c}^{∞}(M) spełniaja̧ warunek (32) z t zasta̧pionym przez t_{1} + t_{2}, to dla t_{2} ≤ c

(supp Ψ(t_{2}, ·) ∪ supp ∂_{t}Ψ(t_{2}, ·)) ∩ B(t_{1}, x) = ∅.

Ponieważ w twierdzeniu spektralnym iloczynowi funkcji odpowiada złożenie operatorów, to znaczy

(F G)(L) = F (L) ∘ G(L),

to korzystaja̧c z wzorów

cos(s + t) = cos t cos s − sin t sin s,

sin(s + t) = sin t cos s + sin s cos t,

otrzymujemy, że

Ψ(t_{1} + t_{2}, x) = C_{t_{1}}(\sqrt{L})Ψ(t_{2}, ·)(x) + S_{t_{1}}∂_{t}Ψ(t_{2}, ·)(x).

Wynika sta̧d, że inkluzje (33) i (34) sa̧ spełnione dla wszystkich t ≤ t_{1} + c co jest sprzeczne z określeniem t_{1}. Sprzeczność ta dowodzi twierdzenia 4.1.

Prosta̧ konsekwencja̧ twierdzenia 4.1 jest nastepuja̧ce twierdzenie, które bȩdziemy stosować kilkakrotnie w nastȩpnych rozdziałach Twierdzenie 4.2 Jeżeli ograniczona funkcja F może być przedłużona do funkcji parzystej i analitycznej na IC spełniaja̧cej warunki twierdzenia Paley-Wienera, to znaczy

F (z) ≤ γ(1 + |z|)^{n} exp(r|ℑmz|)

dla pewnych stałych n, r i γ, to dla dystrbucji K_{F (\sqrt{L})}

supp K_{F (\sqrt{L})} ⊂ \{(x, y) : ρ(x, y) ≤ r\},

gdzie K_{F (\sqrt{L})}, i ρ(·, ·) sa̧ zdefiniowane tak jak w twierdzeniu 4.1.

Dowód. Załóżmy dodatkowo, że F jest funkcja̧ z klasy Schwartza na IR. Jeżeli F jest funkcja̧ parzysta̧ to

F (\sqrt{λ}) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} F̂(t) cos t\sqrt{λ} dt,

gdzie F̂(t) jest transformata̧ Fouriera funkcji F. Sta̧d

∫_{0}^{∞} F (\sqrt{λ}) dE(λ) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} F̂(t) cos(t\sqrt{λ}) dtdE(λ) (35)

Ponieważ F jest funkcja̧ należa̧ca̧ do klasy Schwartza,wiȩc również F̂ jest funkcja̧ z tej klasy i we wzorze (35) możemy zamienić kolejność całkowania.

F (\sqrt{L}) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} F̂(t)C_{t}(\sqrt{L}) dt. (36)

Z twierdzenia Paley-Wienera wynika, że supp F̂ ⊂ [−r, r]. Sta̧d na mocy (36) twierdzenie 4.2 wynika z twierdzenia 4.1.

Jeżeli F nie należy do klasy Schwartza, to niech H_{t} bȩdzie gładka̧ jednościa̧ aproksymatywna̧ na IR o tej własności, że supp H_{t} ⊂ [−t, t]. Funkcja F Ĥ_{t} jest transformata̧ Fouriera funkcji F̂ ∗ H_{t}. Jednak F̂ ∗ H_{t} jest funkcja̧ gładka̧ o nośniku zawartym w odcinku [−(t + r), t + r]. Funkcja F Ĥ_{t} należy wiȩc do klasy Schwartza i na mocy już udowodnionej czȩści twierdzenia 4.2 wynika, że supp K_{F Ĥ_{t}(\sqrt{L})} ⊂ \{(x, y) : ρ(x, y) ≤ r + t\}, (37)

Z drugiej jednak strony z twierdzenia spektralnego wynika, że rodzina operatorów F (\sqrt{L})Ĥ_{t}(\sqrt{L}) zbiega w mocnej topologii operatorowej do F (\sqrt{L}), co dla dowolnych funkcji ϕ, ψ ∈ C_{c}^{∞}(M) oznacza, że

lim_{t→0} ∫_{M} F Ĥ_{t}(\sqrt{L})ϕψ̄ = ∫_{M} F (\sqrt{L})ϕψ̄.

Sta̧d i z (37) otrzymujemy twierdzenie 4.2 dla wszystkich funkcji ograniczonych.

Pozostała̧ czȩść tego rozdziału poświȩcimy sformułowaniu odpowiedników twierdzeń 4.1 i 4.2 dla lewostronnie niezmienniczych operatorów działaja̧cych na grupie Liego. O ile dla laplasjanu te twierdzenia sa̧ po prostu szczególnymi przypadkami twierdzeń 4.1 i 4.2 o tyle dla podlaplasjanu ich dowód bȩdzie wymagał dodatkowej argumentacji.

Niech G bȩdzie spójna̧ grupa̧ Liego . Przez d_{r}g (d_{l}g) bedziemy oznaczać prawoniezmiennicza̧ (odpowiednio lewoniezmiennicza̧) miarȩ Haara na G. Niech dalej m(g) bȩdzie funkcja̧ modularna̧ to znaczy taka̧, że

∫ ϕ(hg) d_{r}g = m(h) ∫ ϕ(g) d_{r}g.

Przypomnijmy, jeszcze, że d_{l}g = m(g)d_{r}g. Jak jest to zwykle przyjȩte określmy splot funkcji ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ L^{1}(d_{r}g) wzglȩdem miary d_{r}g jako

ϕ ∗_{r} ψ(h) = ∫ ϕ(hg^{−1})ψ(g) d_{r}g

a dla funkcji ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ L^{1}(d_{l}g) wzglȩdem miary d_{l}g wzorem

ϕ ∗_{l} ψ(h) = ∫ ϕ(g)ψ(g^{−1}h) d_{l}g

tak, że

(ϕ ∗_{r} ψ)d_{r}g = (ϕd_{r}g) ∗ (ψd_{r}g)

oraz

(ϕ ∗_{l} ψ)d_{l}g = (ϕd_{l}g) ∗ (ψd_{l}g),

gdzie splot ν ∗ μ miar ν i μ okreslony jest wzorem

∫ ϕd(ν ∗ μ) = ∫ ∫ ϕ(gh) dν(g)dμ(h).

Nastȩpnie niech X_{1}, …, X_{k} bȩdzie systemem lewoniezmienniczych pól wektorowych spełniaja̧cych warunek Hörmandera. Zdefiniujmy operatory 𝔏_{r} i 𝔏_{l} wzorami

∫_{G} 𝔏_{r}ϕ · ϕ̄ d_{r}g = ∫_{G} ∑_{i=1}^{k} |X_{i}ϕ|^{2}d_{r}g, ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G); (38)

∫_{G} 𝔏_{l}ϕ · ϕ̄ d_{l}g = ∫_{G} ∑_{i=1}^{k} |X_{i}ϕ|^{2}d_{l}g, ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G). (39)

Łatwo obliczyć, że

𝔏_{r} = − ∑_{i=1}^{k} X_{i}^{2}

oraz

𝔏_{l} = − ∑_{i=1}^{k} X_{i}^{2} − m^{−1} ∑_{i=1}^{k}(X_{i}m)X_{i} = − ∑_{i=1}^{k} X_{i}^{2} − ∑_{i=1}^{k}(X_{i}m)(e)X_{i}.

Przez L_{r} (L_{l}) bȩdziemy oznaczać samosprzȩżony operator działaja̧cy na przestrzeni L^{2}(d_{r}g) (L^{2}(d_{l}g)), bȩda̧cy domkniȩciem operatora 𝔏_{r} (𝔏_{l}). Jeżeli teraz F : IR ↦ IR jest ograniczona̧ funkcja̧ borelowska̧, to operatory F (L_{r}) : L^{2}(d_{r}g) → L^{2}(d_{r}g) i F (L_{l}) : L^{2}(d_{l}g) → L^{2}(d_{l}g) zdefiniowane przez twierdzenie spektralne sa̧ lewoniezmiennicze na G, wiȩc istnieja̧ takie dystrybucje K′_{F (L_{r})} (odpowiednio K′_{F (L_{l})}), że

F (L_{r})(ϕ) = ϕ ∗_{r} K′_{F (L_{r})}, (40)

(F (L_{l})(ϕ) = ϕ ∗_{l} K′_{F (L_{l})})

dla wszystkich ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G). Zauważmy, że miedzy ja̧drami splotowymi K′_{F (L_{r})}, K′_{F (L_{l})} operatorów F (L_{r}) i F (L_{r}), a ich ja̧drami zdefiniowanymi wzorem (22) zachodza̧ nastȩpuja̧ce zwia̧zki

K′_{F (L_{r})}(x) = K_{F (L_{r})}(e, x),
K′_{F (L_{l})}(x) = K_{F (L_{l})}(e, x)

oraz

K_{F (L_{r})}(x, y) = K′_{F (L_{r})}(x^{−1}y)m(x^{−1}),
K_{F (L_{l})}(x, y) = K′_{F (L_{l})}(x^{−1}y).

W dalszym cia̧gu, jeżeli nie bȩdzie to powodować niejasności, bedziemy opuszczać indeksy l i r, szczególnie w przypadku grup unimodularnych kiedy miary d_{l}g, d_{r}g sploty ∗_{l}, ∗_{r} i operatory L_{l}, L_{r} pokrywaja̧ siȩ. Bȩdziemy również przy pewnym nadużyciu notacji opuszczać ′ w oznaczeniu (40) ja̧dra splotowego nie robia̧c rozróżnienia miedzy ja̧drem splotowym i ja̧drem operatora określonym wzorem (22).

Zanim przejdziemy do sformułowania twierdzeń dotycza̧cych nośników ja̧der splotowych zauważmy jeszcze, że ponieważ operatory 𝔏_{r} i 𝔏_{l} zadane wzorami (38) i (39) sa̧ lewostronnie niezmiennicze, to sa̧ one w pełni określone poprzez formȩ kwadratowa̧ ∑_{i=1}^{k} X_{i}^{2}(·) zdefiniowana̧ na przestrzeni kostycznej do elementu neutralnego e grupy G. Wynika sta̧d, że możemy znaleźć taki system Y_{1}, …, Y_{l} lewoniezmienniczych pól wektorowych, który jest liniowo niezależny i podstawiony do wzorów (38) i (39) da ten sam operator co system X_{1}, …, X_{k}. Dlatego możemy zakładać, że pola X_{1}, …, X_{k} sa̧ liniowo niezależne. Jeżeli ponadto system wektorów X_{1}, …, X_{k} jest baza̧ w 𝔤, to dla ϕ ∈ C^{∞}(G)

∑_{i=1}^{k} |X_{i}ϕ(g)|^{2} =< grad ϕ(g), grad ϕ(g) >,

gdzie gradient i iloczyn skalarny jest liczony wzglȩdem metryki Riemanna, dla której układ X_{1}, …, X_{k} jest baza̧ ortonormalna̧. Jeżeli teraz położymy X = grad ϕ, to korzystaja̧c ze wzorów (28) i (29) otrzymujemy, że

< grad ϕ, grad ϕ >= Xϕ = div ϕX − ϕdiv X. (41)

Dla funkcji ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G) niech Ω ⊂ G bȩdzie zbiorem otwartym, ograniczonym o gładkim brzegu takim, że supp ϕ ⊂ Ω i ϕ(g) = 0 dla g ∈ ∂Ω. Z twierdzenia Stokesa, na mocy (41), mamy

∫_{G} < grad ϕ, grad ϕ > dω = ∫_{Ω} < grad ϕ, grad ϕ > dω =
∫_{∂Ω} ϕgrad ϕ dσ − ∫_{Ω} ϕdiv_{dω} grad ϕ dω = − ∫_{G} ϕdiv_{dω} grad ϕ dω.

Sta̧d 𝔏_{r}ϕ = −div_{d_{r}g} grad ϕ (42)

(𝔏_{l}ϕ = −div_{d_{l}g} grad ϕ) .

Udowodnimy teraz twierdzenie o skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧- zań równania fali dla operatorów L_{r} i L_{l}.

Twierdzenie 4.3 Jeżeli zbiór X_{1}, …, X_{k} spełnia warunek Hörmandera, operatotry L_{r} i L_{l} sa̧ zdefiniowany wzoremi (38),(39) i ρ(·, ·) jest odległościa̧ określona̧ w definicji 2.2 odpowiadaja̧ca̧ układowi X_{1}, …, X_{k} , to

supp K_{C_{t}(\sqrt{L_{r}})} ⊂ \{g ∈ G : ρ(g, e) ≤ t\},

(43)

supp K_{C_{t}(\sqrt{L_{l}})} ⊂ \{g ∈ G : ρ(g, e) ≤ t\}.

Uwaga. Powtarzaja̧c dowód twierdzenia 4.2 z twierdzenia 4.3 dostajemy nastȩpuja̧ca̧ wersjȩ twierdzenia 4.2.

Twierdzenie 4.4 Jeżeli ograniczona funkcja F może być przedłużona do funkcji parzystej i analitycznej na IC spełniaja̧cej warunki twierdzenia Paley-Wienera, to znaczy

F (z) ≤ γ(1 + |z|)^{n} exp(r|ℑmz|)

dla pewnych stałych n, r i γ, to

supp K_{F (\sqrt{L_{r}})} ⊂ \{g ∈ G : ρ(g, e) ≤ r\},
supp K_{F (\sqrt{L_{l}})} ⊂ \{g ∈ G : ρ(g, e) ≤ r\},

gdzie L_{r}, L_{l} i ρ(·, ·) sa̧ określone tak jak w twierdzeniu 4.3.

Dowód twierdzenia 4.3. Udowodnimy twierdzenie 4.3 tylko dla operatora L_{r}. Dowód dla operatora L_{l} jest analogiczny. Jeżeli X_{1}, …, X_{k} jest baza̧ 𝔤 to twierdzenie 4.3 wynika z twierdzenia 4.1 i wzoru (42).

Jeżeli X_{1}, …, X_{k} nie jest baza̧ 𝔤, to wybierzmy wektory Y_{1}, …, Y_{m} w taki sposób by układ X_{1}, …, X_{k}, Y_{1}, …, Y_{s} był baza̧ 𝔤 i dla ϵ ≥ 0 zdefiniujmy operator 𝔏_{r}^{ϵ} wzorem

𝔏_{r}^{ϵ}ϕ = −div_{d_{r}g} grad_{ϵ} ϕ = − ∑_{i=1}^{k} X_{i}^{2}ϕ − ϵ^{2} ∑_{i=1}^{l} Y_{i}^{2}ϕ, ϕ ∈ C_{c}^{∞},

gdzie grad_{ϵ} jest liczony wzglȩdem lewoniezmienniczej metryki riemannowskiej dla, której układ X_{1}, …, X_{k}, ϵY_{1}, …, ϵY_{s} jest baza̧ ortonormalna̧. Podobnie jak poprzednio przez L_{r}^{ϵ} bȩdziemy oznaczać domkniȩcie operatora 𝔏_{r}^{ϵ} Nastȩpnie zdefiniujmy dystrybucje P_{ϵ} ∈ D′(G × IR) wzorem < P_{ϵ}, Φ >= − ∫_{0}^{∞} S_{t}(L_{r}^{ϵ})(Φ(·, t))(e) dt (44)

gdzie Φ ∈ C_{c}^{∞}(G × IR), a S_{t}(L_{r}^{ϵ})(Φ(·, t))(e) jest wartościa̧ w e funkcji Φ(·, t) zmiennej · po nałożeniu operatora S_{t}(L_{r}^{ϵ}). Zauważmy , że dystrybucja P_{ϵ} jest rozwia̧zaniem fundamentalnym dla operatora L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2}, to znaczy

(L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2}) ∗ P_{ϵ} = P_{ϵ} ∗ (L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2}) = δ_{(e,0)}. (45)

W powyższym wzorze przy pewnym nadużyciu notacji traktujemy L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2} jako taka̧ dystrybucjȩ, że Φ(∗L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2}) = (L_{r}^{ϵ} + ∂_{t}^{2})Φ. Rzeczywiście ponieważ na mocy twierdzenia spektralnego mamy ∂_{t}S_{t}(L_{r}^{ϵ}) = C_{t}(L_{r}^{ϵ}), ∂_{t}C_{t}(L_{r}^{ϵ}) = −L_{r}^{ϵ}S_{t}(L_{r}^{ϵ}) i C_{0}(L_{r}^{ϵ}) = Id, S_{0}(L_{r}^{ϵ}) = 0, wiȩc całkuja̧c dwukrotnie przez czȩści otrzymamy

< (∂_{t}^{2} + L_{r}^{ϵ})P_{ϵ}, Φ >=< L_{r}^{ϵ}P_{ϵ}, Φ > + < P_{ϵ}, ∂_{t}^{2}Φ >=< L_{r}^{ϵ}P_{ϵ}, Φ >

−S_{0}(L_{r}^{ϵ})(∂_{t}Φ(·, 0))(e) + C_{0}(L_{r}^{ϵ})(Φ(·, 0))(e) − ∫_{0}^{∞} ∂_{t}^{2}S_{t}(L_{r}^{ϵ})(Φ(·, t))(e) dt

=< L_{r}^{ϵ}P_{ϵ}, Φ > + ∫_{0}^{∞} L_{r}^{ϵ}S_{t}(L_{r}^{ϵ})(Φ(·, t))(e) dt + Φ(e, 0) = Φ(e, 0).

(porównaj [15] roz. 6.2). Ponieważ X_{1}, …, X_{k}, ϵY_{1}, …, ϵY_{s} jest baza̧ w 𝔤, wiȩc na mocy udowodnionej już czȩści twierdzenia 4.3, dla ϵ > 0 mamy

supp P_{ϵ} ⊂ {(g, t) : ρ_{ϵ}(g) ≤ t}, (46)

gdzie ρ_{ϵ}(·, ·) jest odległościa̧ w metryce riemannowskiej odpowiadaja̧cej układowi X_{1}, …, X_{k}, ϵY_{1}, …, ϵY_{s}. Jeżeli udowodnimy, że nośniki dystrybucji P_{ϵ} zbiegaja̧ do nośnika P_{0}, to na mocy lematu 2.4 otrzymamy, że

supp P_{0} ⊂ {(g, t) : ρ(e, g) ≤ t}. (47)

Sta̧d

supp K_{S_{t}(\sqrt{L})} ⊂ \{g ∈ G : ρ(e, g) ≤ t\}.

Ale C_{t}(\sqrt{L}) = ∂_{t}S_{t}(\sqrt{L}) i na mocy powyższej inkluzji otrzymamy twierdzenie 4.3. Aby wiȩc zakończyć dowód twierdzenia 4.3 wystarczy udowodnić nastepuja̧cy lemat Lemat 4.2 Jeżeli P_{ϵ}, ϵ ≥ 0, jest zdefiniowane wzorem (44), to

lim_{ϵ→0} P_{ϵ} = P_{0},

gdzie zbieżność jest rozumiana w sensie dystrybucjnym.

Dowód. Udowodnimy najpierw, że

lim_{ϵ→0} ϵ^{2}P_{ϵ} = 0 (48)

Aby pokazać (48) zdefiniujmy operator Δ̃ jako

Δ̃ϕ = −div_{d_{r}g} grad_{r} ϕ,

gdzie grad_{r} jest określony wzglȩdem dowolnej ustalonej metryki prawoniezmienniczej na G. Stosuja̧c analogiczny do wzoru (42) wzór dla operatora Δ̃ nietrudno zauważyć, że operator ten jest operatorem prawoniezmienniczym. Z klasycznej nierówności Sobolewa otrzymujemy, że

|ϕ(e)| ≤ C∥(I + Δ̃)^{\frac{1+n}{2}} ϕ∥_{L^{2}(d_{r}x)}

Dlatego, jeżeli Φ ∈ C_{c}^{∞}(G × R), to

| < P_{ϵ}, Φ > | = | ∫_{0}^{∞} S_{t}(L_{r}^{ϵ})Φ(·, t)(e) dt|

≤ C ∫_{0}^{∞} ∥(I + Δ̃)^{\frac{n+1}{2}} S_{t}(L_{r}^{ϵ})Φ∥_{L^{2}(d_{r}x)} dt (49)

≤ C ∫_{0}^{∞} t∥(I + Δ̃)^{\frac{n+1}{2}} Φ∥_{L^{2}(d_{r}x)} dt,

Wzór (49) otrzymujemy na mocy tego, że operatory Δ̃ i S_{t}(L_{r}^{ϵ}) komutuja̧ i

∥S_{t}(L_{r}^{ϵ})∥_{L^{2}(d_{r}g)→L^{2}(d_{r}g)} ≤ t.

Dowodzi to (48) ponieważ ostatnia całka nie zależy od ϵ.

Na mocy wzoru (44) mamy

supp P_{0} ⊂ G × (IR^{+} ∪ {0}).

Sta̧d i z (46) wnioskujemy, że zbiór supp P_{0} ∩ g(supp P_{ϵ}) jest zwarty dla każdego g ∈ G. Tak wiȩc splot dystrybucji P_{0} i P_{ϵ} jest dobrze określony (patrz [15] wzór (4.2.6) str. 104) i z (45) mamy

P_{0} = P_{0} ∗ ((∂_{t}^{2} + L_{r}^{ϵ}) ∗ P_{ϵ}) = (P_{0} ∗ (∂_{t}^{2} + L_{r}^{0})) ∗ P_{ϵ}

−P_{0} ∗ ϵ^{2}(Y_{1}^{2} + … + Y_{l}^{2}) ∗ P_{ϵ} = P_{ϵ} − P_{0} ∗ (Y_{1}^{2} + … + Y_{l}^{2}) ∗ (ϵ^{2}P_{ϵ})

co na mocy (48) dowadzi lematu 4.2.

5 Ostre punktowe oszacowania dla ja̧der ciepła

W tym rozdziale bȩdziemy rozważać te operatory, dla których w czȩści poprzedniej udowodniliśmy własność skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zań fali, to znaczy samosprzȩżonych rozszerzeń operatorów zdefiniowanych na dowolnej rozmaitości riemannowskiej wzorem (20) lub domkniȩć grupowo niezmienniczych eliptycznych i podeliptycznych operatorów określonych wzorami (38) lub (39). Ja̧dro ciepła generowane przez tego typu operator L zdefiniujemy wzorem p_{t}(x, y) = K_{H_{t}(L)}(x, y), (50)

gdzie H_{t}(λ) = e^{−tλ}.

Punktem wyjścia dla naszych rozważań bȩdzie nastepuja̧ce założenie

(51)  sup_{x} p_{t}(x, x) ≤ \{ \begin{matrix}Ct^{−d/2} & jeżeli t ≤ 1 \\ Ct^{−D/2} & jeżeli t > 1. \end{matrix}

W [5] E. B. Davies udowodnił , że dla ja̧dra ciepła generowanego przez operator Laplace’a-Beltramiego na zupełnej rozmaitosci riemanowskiej z (51) wynika nastȩpuja̧ce oszacowanie:

(52) p_{t}(x, y) ≤ \{ \begin{matrix}C_{ϵ}t^{−d/2}exp(\frac{−ρ(x,y)^{2}}{(4+ϵ)t}) & jeżeli t ≤ 1 \\ C_{ϵ}t^{−D/2}exp(\frac{−ρ(x,y)^{2}}{(4+ϵ)t}) & jeżeli t > 1, \end{matrix}

gdzie ϵ jest dowolna̧ dotatnia liczba̧ rzeczywista̧. Nastȩpnie w [6] E. B. Davies i M. M. H. Pang, a w [3] Th. Coulhon pokazali, że tak jak w przypadku ja̧dra Gaussa na IR^{n} można z oszacowań (52) usuna̧ć ϵ tyle, że w odróżnieniu od klasycznego ja̧dra Gaussa można to zrobić tylko kosztem dopisania dodatkowego wielomianowego czynnika. Dokładniej, udowodnili oni nastepuja̧ce wzmocnienie nierówności (52): jeżeli d ≤ D, to

p_{t}(x, y) ≤ c min \{t^{−d/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d}, (53)

t^{−D/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{D}\} exp (\frac{−ρ(x, y)^{2}}{4t} ) .

Jeżeli natomiast d > D, to

p_{t}(x, y) ≤ c max \{t^{−d/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d}, (54)

t^{−D/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{D}\} exp (\frac{−ρ(x, y)^{2}}{4t} ) .

Wcześniej nieco słabsze oszacowania tego typu, wymagaja̧ce wyższego stopnia dodatkowego wielomianowego czynnika udowodnił N. Th. Varopoulos w [26]. Dodatkowe dane dotycza̧ce historii gaussowskich oszacowań typu (52) można znaleźć w [6] i [3]. Celem tego rozdziału jest udowodnienie silniejszych oszacowań przy czym stopień dodatkowego wielomianowego czynnika w naszych oszacowaniach bȩdzie z dokładnościa̧ do dowolnego ϵ > 0 najmniejszym możliwym do uzyskania (w uwagach na końcu tego rozdziału wyjaśnimy to dokładniej). Dowody w [6] i [3] opieraja̧ siȩ na metodzie zaburzania ja̧der ciepła. Nasz dowód bȩdzie siȩ opierał na własności skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zania równania fali. Idea wykorzystania skończonej prȩdkości propagacji fali do uzyskania oszacowań dla ja̧dra ciepla byla używana wcześniej na przykad w [19], jednak dzieki zastosowaniu wzoru (61) zamiast (36) do powia̧zania równania fali i półgrupy ciepła jesteśmy w stanie otrzymać silniejsze oszacowania.

Niech ja̧dro K_{F (L)} bȩdzie zdefiniowane wzorem (22). Zauważmy, że

K_{F (L)}(x, y) = K_{F (L)}(y, x),
K_{F̄(L)}(x, y) = \overline{K_{F (L)}(y, x)},

oraz

p_{2t}(y, y) = ∥p_{t}(y, ·)∥_{L^{2}(dx)}^{2}.

Ponadto

∥F (L)∥_{L^{1}(dx)↦L^{2}(dx)} = ∥F (L)∥_{L^{2}(dx)↦L^{∞}(dx)} (55)

= sup_{y} ∥K_{F (L)}(y, ·)∥_{L^{2}(dx)}

Udowodnimy teraz nastȩpujacy lemat

Lemat 5.1 Dla miara μ_{y} jest określonej wzorem

∫_{0}^{∞} F (λ) dμ_{y}(λ) = ∫_{0}^{∞} F (\sqrt{λ})e^{2λ} d(E(λ)p_{1}(y, ·), p_{1}(y, ·)), (56)

mamy

∥K_{F (\sqrt{L})}(y, ·)∥_{L^{2}(dx)}^{2} = ∫_{0}^{∞} |F (λ)|^{2} dμ_{y}(λ).

Dowód. Połóżmy H(λ) = e^{−λ}. Na mocy defincji F (L) i K_{F (L)} mamy

∥K_{F (\sqrt{L})}(y, ·)∥_{L^{2}} = ∫ d(E(λ)K_{F (\sqrt{L})}(y, ·), K_{F (\sqrt{L})}(y, ·))

= ∫ H^{2}(λ)H^{−2}(λ) d(E(λ)K_{F (\sqrt{L})}(y, ·), K_{F (\sqrt{L})}(y, ·)) (57)

= ∫ e^{2λ} d(E(λ)H(L)(K_{F (\sqrt{L})}(y, ·)), H(L)(K_{F (\sqrt{L})}(y, ·))).

Dalej

H(L)(K_{F (\sqrt{L})}(y, ·)) = K_{HD(L)} = K_{DH(L)} = F (\sqrt{L})p_{1}(y, ·),

gdzie D(λ) = F (\sqrt{λ}). Sta̧d wobec (57)

∥K_{F (\sqrt{L})(y,·)}∥_{L^{2}(dx)} = ∫ e^{2λ} d(E(λ)F (\sqrt{L})p_{1}(y, ·), F (\sqrt{L})p_{1}(y, ·))
= ∫ |F (\sqrt{λ})|^{2}e^{2λ} d(E(λ)p_{1}(y, ·), p_{1}(y, ·))

co dowodzi lematu 5.1.

Nasze oszacowania dla ja̧der ciepła możemy sformułować w postaci nastȩpuja̧cego twierdzenia

Twierdzenie 5.1 Niech p_{t} bȩdzie ja̧drem ciepła zdefiniowanym wzorem (50). Załóżmy ponadto, że spełniona jest nierowność (51). Wtedy istnieje stała C_{ϵ} zależa̧ca tylko od ϵ, d i D taka, że jeżeli d ≤ D, to

p_{t}(x, y) ≤ CC_{ϵ}min \{t^{−d/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d−1+ϵ}, (58)

t^{−D/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{D−1+ϵ}\} exp (−\frac{ρ(x, y)^{2}}{4t} )

i jeżeli d > D, to

p_{t}(x, y) ≤ CC_{ϵ}max\{t^{−d/2}, t^{−D/2}\}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d−1+ϵ} (59)

·exp (\frac{−ρ(x, y)^{2}}{4t} ) .

Dowód. Zaczniemy dowód twierdzenia 5.1 od przypadku d = D. Wtedy (58) i (59) redukuja̧ siȩ do nastȩpuja̧cej nierówności

p_{t}(x, y) ≤ CC_{ϵ}t^{−d/2}t(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d−1+ϵ}exp (\frac{−ρ(x, y)^{2}}{4t} ) .

Niech

(x)_{+} = \{ \begin{matrix}x & dla x > 0 \\ 0 & dla x < 0 \end{matrix}

Jak łatwo sprawdzić przez bezpośredni rachunek, dla α ≥ 0

exp(−x^{2}) = \frac{2}{Γ(α + 1)} ∫_{0}^{∞}(r^{2} − x^{2})_{+}^{α}re^{−r^{2}} dr.

Sta̧d

\frac{1}{\sqrt{4πt}}exp(\frac{−x^{2}}{4t}) = \frac{2}{Γ(α + 1)\sqrt{π}} ∫_{0}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}(r^{2} − x^{2})_{+}^{α}re^{\frac{−r^{2}}{4t}} dr.

Stosuja̧c transformatȩ Fouriera do obu stron powyższej tożsamości otrzymamy

exp(−tλ^{2}) = \frac{2}{Γ(α + 1)} ∫_{0}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}F_{r}^{α}(λ)re^{\frac{−r^{2}}{4t}} dr, (60)

gdzie F_{r}^{α} jest transformata̧ Fouriera funkcji x → \frac{1}{\sqrt{π}}(r^{2}−x^{2})_{+}^{α}. Z (60) wynika, że

exp(−tL) = \frac{2}{Γ(α + 1)} ∫_{0}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}F_{r}^{α}(\sqrt{L})re^{− \frac{−r^{2}}{4t}} dr. (61)

Udowodnimy najpierw twierdzenie 5.1 dla d = D przy nastȩpuja̧cym dodatkowym założeniu

|K_{F_{r}^{α}(\sqrt{L})}(x, y)| ≤ CC_{1}(α, d)r^{2α−d+1}, (62)

dla α > d − 1. Wprost z definicji funkcji F_{r}^{α} wynika, że

supp F̂_{r}^{α} ⊂ [−r, r]

i na mocy twierdzenia 4.2

supp K_{F_{r}^{α}(\sqrt{L})}(x, ·) ⊂ B_{r}(x). (63)

Teraz na mocy (61) i (63)

p_{t}(x, y) ≤ \frac{2}{Γ(α + 1)} ∫_{0}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}|K_{F_{r}^{α}(\sqrt{L})}(x, y)|re^{− \frac{r^{2}}{4t}} dr (64)

= \frac{2}{Γ(α + 1)} ∫_{ρ(x,y)}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}|K_{F_{r}^{α}(\sqrt{L})}(x, y)|re^{− \frac{r^{2}}{4t}} dr.

Z (62) wynika, że

∫_{ρ(x,y)}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}|K_{F_{r}^{α}(\sqrt{L})}(x, y)|re^{− \frac{r^{2}}{4t}} dr

≤ CC_{1}(d, α) ∫_{ρ(x,y)}^{∞}(\frac{1}{4t})^{α+3/2}r^{2α−d+1}re^{− \frac{r^{2}}{4t}} dr (65)

= CC_{1}(d, α)(4t)^{−d/2} ∫_{ρ(x,y)/\sqrt{4t}}^{∞} r^{2α−d+1}re^{−r^{2}} dr.

Używaja̧c elementarnej nierówności

∫_{a}^{∞} r^{γ}re^{−r^{2}} dr ≤ C_{γ}(1 + a)^{γ}exp(−a^{2}),

otrzymamy twierdzenie 5.1 przy założeniu (62) dla przypadku d = D kłada̧c γ = 2α − d + 1, α = ϵ/2 + d − 1 i C_{ϵ} = 4^{−d/2} \frac{2}{Γ(α+1)}C_{1}(d, α)C_{γ}.

Dowód (62). Na mocy założeń mamy

∥p_{t}(x, ·)∥_{L^{2}(dx)}^{2} = p_{2t}(x, x) ≤ C(2t)^{− \frac{d}{2}} .

Niech μ_{x} bȩdzie miara̧ zadana̧ przez (56). Wtedy

μ_{x}([0, r)) ≤ e ∫_{0}^{r} e^{−λ^{2}r^{−2}}dμ_{x}(λ) (66)

≤ e ∫_{0}^{∞} e^{−λ^{2}r^{−2}}dμ_{x}(λ) = e∥p_{r^{−2}}(x, ·)∥_{L^{2}} ≤ e2^{− \frac{d}{2}} Cr^{d}.

Teraz dla funkcji F, połóżmy S = signF \sqrt{|F |} i H = \sqrt{|F |}. Wtedy F = SH, wiȩc

|K_{F (\sqrt{L})}(x_{1}, x_{2})| = | ∫_{M} K_{S(\sqrt{L})}(x_{1}, y)K_{H(\sqrt{L})}(y, x_{2}) dy|
≤ ∥K_{S(\sqrt{L})}(x_{1}, ·)∥_{L^{2}}∥K_{H(\sqrt{L})}(x_{2}, ·)∥_{L^{2}}
= (∫_{0}^{∞} |K(λ)|^{2} dμ_{x_{1}}(λ))^{1/2}(∫_{0}^{∞} |H(λ)|^{2} dμ_{x_{2}}(λ))^{1/2}
= (∫_{0}^{∞} |F (λ)| dμ_{x_{1}}(λ))^{1/2}(∫_{0}^{∞} |F (λ)| dμ_{x_{2}}(λ))^{1/2}

czyli

|K_{F (\sqrt{L})}(x_{1}, x_{2})| ≤ (∫_{0}^{∞} |F (λ)| dμ_{x_{1}}(λ))^{1/2}(∫_{0}^{∞} |F (λ)| dμ_{x_{2}}(λ))^{1/2}. (67)

Z drugiej strony jednak nietrudny rachunek pokazuje, że dla pewnej stałej C_{α} niezależa̧cej od λ i r,

|F_{r}^{α}(λ)| ≤ C_{α} \frac{r^{2α+1}}{1 + |rλ|^{α+1}} , (68)

sta̧d na mocy (66)

∫_{0}^{∞} |F_{r}^{α}(λ)| dμ_{x}(λ) ≤ C_{α} ∫_{0}^{∞} \frac{r^{2α+1}}{1 + |rλ|^{α+1}} dμ_{x}(λ)

= C_{α} ∫_{0}^{∞} ∫_{λ}^{∞} −\frac{d}{ds}(\frac{r^{2α+1}}{1 + (rs)^{α+1}} ) ds dμ_{x}(λ)

= C_{α} ∫_{0}^{∞} −\frac{d}{ds}(\frac{r^{2α+1}}{1 + (rs)^{α+1}} ) ∫_{0}^{s} dμ_{x}(λ) ds

≤ C_{α} ∫_{0}^{∞} \frac{(α + 1)r^{3α+2}s^{α}}{(1 + (rs)^{α+1})^{2}} e2^{− \frac{d}{2}} Cs^{d}ds

= r^{2α−d+1}CC_{α}e2^{− \frac{d}{2}} (α + 1) ∫_{0}^{∞} \frac{s^{α}s^{d}}{(1 + s^{α+1})^{2}} ds,

co na mocy (67) dowodzi (62).

Powyższy dowód nierówności (62) kończy dowód twierdzenia 5.1 dla d = D. Jeżeli d < D, to

p_{t}(x, x) ≤ Ct^{− \frac{γ}{2}}

dla wszystkich d ≤ γ ≤ D, sta̧d otrzymamy (58) na mocy przypadku d = D. Aby dowieść twierdzenia 5.1 w przypadku d > D zauważmy, że jeżeli f(x) = cos t\sqrt{x^{2} + a}, to z twierdzenia Paley-Wienera mamy

supp f̂ ⊂ [−t, t]

i z twierdzenia 4.2 wynika, że twierdzenie 4.1 jest prawdziwe również, jeżeli zasta̧pimy operator L przez operator L + a, dlatego możemy stosować udowodniona̧ już czȩść twierdzenia 5.1 do operatora L + a. Jeżeli jednak p_{t} jest ja̧drem ciepła generowanym przez operator L, to p_{t}e^{−ta} jest ja̧drem ciepła generowanym przez operator L + a. Zauważmy teraz, że dla a ≤ 1

p_{t}(x, x)e^{−ta} ≤ c_{1}Ca^{\frac{D−d}{2}} t^{− \frac{d}{2}} .

i na mocy udowodnionego już przypadku d = D

p_{t}(x, y)e^{−ta} ≤ c_{1}Ca^{\frac{D−d}{2}} C_{ϵ}(t^{−d/2}(1 + ρ(x, y)/\sqrt{t})^{d−1+ϵ}exp (−\frac{ρ(x, y)^{2}}{4t} ) .

Sta̧d dostajemy (59) kłada̧c a = 1 dla t ≤ 1 i a = 1/t dla t > 1.

Uwagi. 1. W [20] S. A. Molchanov pokazał, że jeżeli N i S sa̧ przeciwnymi biegunami d wymiarowej sfery, to

p_{t}(N, S) ∼ t^{−d/2}(1 + ρ(S, N)/\sqrt{t})^{d−1}exp (−\frac{ρ(N, S)^{2}}{4t} ) gdy t ↓ 0. (69)

(69) pokazuje, że oszacowania (58) i (59), co najmniej w przypadku d ≤ D lub gdy t da̧ży do zera, maja̧ z dokładnościa̧ do ϵ najniższy stopień dodatkowego wielomianowego czynnika, jaki możemy otrzymać, nie robia̧c dodatkowych założeń o operatorze L.

2. Oszacowania (58) i (59), które otrzymaliśmy, sa̧ silniejsze niż (54) i (53), dla d ≤ D lub gdy t → 0 . Nie wiemy jednak czy również dla d > D i dużych t jest możliwe poprawienie oszacowań (53).

Zakończymy ten rozdział innym dowodem skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zań równania fali. Podczas gdy dowody skończonej prȩdkości propagacji fali w rozdziale trzecim opierały siȩ na konkretnej postaci operatorów, twierdzenie które sformułujemy poniżej korzysta tylko z oszacowań gaussowskich dla ja̧der ciepła. Dowód ten pokazuje, że własność skończonej propagacji rozwia̧zań równania fali i gausowskie oszacowania ja̧dra ciepła sa̧ w pewnym sensie równoważne.

Twierdzenie 5.2 Niech M bȩdzie przestrzenia̧ z miara̧ dx i metryka̧ ρ( , ), L samosprzȩżonym dodatnio określonym operatorem na L^{2}(dx) i załóżmy, że

∥H_{t}(L)∥_{L^{2}(dx)↦L^{∞}(dx)}^{2} ≤ \{ \begin{matrix}Ct^{−d/2} & jeżeli t ≤ 1 \\ Ct^{−D/2} & jeżeli t > 1 \end{matrix} ,

gdzie H_{t}(λ) = e^{−tλ}. Niech dalej dla półgrupy generowanej przez L zachodza̧ nastȩpuja̧ce gaussowskie oszacowania

(70) p_{t}(x, y) ≤ \{ \begin{matrix}Ct^{−d/2}exp(b^{2} \frac{−ρ(x,y)^{2}}{4t}) & jeżeli t ≤ 1 \\ Ct^{−D/2}exp(b^{2} \frac{−ρ(x,y)^{2}}{4t}) & jeżeli t > 1, \end{matrix}

gdzie b > 0 jest stała̧ rzeczywista̧. Wtedy, jeżeli ϕ, ψ ∈ L^{2}(dx) i ϕ(z) = 0 dla z ∉ B(ξ_{1}, x), ψ(z) = 0 dla z ∉ B(ξ_{2}, y), to

< C_{t}(\sqrt{L})ϕ, ψ >= 0, (71)

dla |t| < b(ρ(x, y) − ξ_{1} − ξ_{2}).

Dowód. Udowodnimy twierdzenie 5.2 dla d = D. Uogólnienie dowodu dla pozostałych przypadków nie jest trudne. Zauważmy najpierw, że zastȩpuja̧c metrykȩ ρ metryka̧ ρ′ = bρ możemy przyja̧ć, że b = 1. Po drugie ponieważ założyliśmy, iż operator L jest samosprzȩżony i dodatnio określony to z twierdzenia spektralnego wynika, że półgrupa ciepła H_{t}(L) przedłuża siȩ na L^{2}(dx) do analitycznej półgrupy na półpłaszczyźnie ℜe z ≥ 0. W [4] Davies udowodnił, że to analityczne przedłużenie ma nastȩpuja̧ca̧ własność

Twierdzenie 5.3 (Davis [4] Theorem 3.4.8 str. 103). Jeżeli p_{z}(x, y) jest ja̧drem analitycznego przedłużenia półgrupy spełniaja̧cej założenia twierdzenia 5.2, to

|p_{z}(x, y)| ≤ C_{δ}(ℜe z)^{−d/2} exp(−ℜe \frac{ρ(x, y)^{2}}{(4 + δ)z}). (72)

Ponieważ w [4] twierdzenie 5.3 ma nieco inne założenia to dla pełności dowodu przytoczymy tu dowód tego twierdzenia.

Dowód. Kłada̧c z = t + is otrzymujemy

H_{z}(L) = H_{t/2}(L)H_{is}(L)H_{t/2}(L).

Sta̧d

∥H_{z}(L)∥_{L^{1}↦L^{∞}} ≤ ∥H_{t/2}(L)∥_{L^{1}↦L^{2}} · ∥H_{t/2}(L)∥_{L^{2}↦L^{∞}}

i na mocy założeń |p_{z}(x, y)| ≤ C_{1}(ℜez)^{−d/2}. (73)

Nastȩpnie w ka̧cie W = {z : 0 ≤ argz ≤ γ}, gdzie 0 < γ < π/2 zdefinujmy analityczna̧ funkcjȩ f wzorem

f(z) = z^{−d/2}p_{z^{−1}}(x, y)exp(\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}e^{i( \frac{π}{2} −γ)}z/sinγ).

Jeżeli z = re^{iθ} i θ = 0, to na mocy (70) mamy

|f(z)| = r^{−d/2}Cr^{d/2}e^{− \frac{1}{4} ρ(x,y)^{2}r}exp(\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}r/sinγℜe e^{i( \frac{π}{2} −γ)}) = C.

Jeżeli z = re^{iθ} i θ = γ, to z (73) wynika, że

|f(z)| ≤ r^{−d/2}C_{1}(ℜe z^{−1})^{−d/2} = C_{1}(cosγ)^{−d/2}.

Jeżeli natomiast z = re^{iθ} i 0 < θ < γ, to

|f(z)| = r^{−d/2}C_{1}(ℜez)^{−d/2}exp((\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}r/sinγ)ℜe e^{i( \frac{π}{2} −γ+θ)}) ≤

C_{1}(cos γ)^{−d/2}exp(\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}r/sinγ).

Z twierdzenia Phragmena-Lindelöfa wynika teraz, że

|f(z)| ≤ C_{2}(cosγ)^{−d/2}

dla wszystkich z ∈ W. Jednakże

p_{z}(x, y) = z^{−d/2}f(z^{−1})exp(−\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}e^{i( \frac{π}{2} −γ)}/(zsinγ))

Sta̧d dla −γ < θ < 0 mamy

|p_{z}(x, y)| ≤ r^{−d/2}C_{2}(cosγ)^{−d/2}exp(−ℜe\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}/(zsinγ))

≤ C_{2}(ℜez)^{−d/2}(\frac{cosθ}{cosγ})^{d/2}exp(−\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}sin(γ − θ)/(rsinγ)).

Zastȩpuja̧c z przez z̄ otrzymujemy

|p_{z}(x, y)| ≤ C_{2}(ℜez)^{−d/2}(\frac{cosθ}{cosγ})^{d/2}exp(−\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}sin(γ − |θ|)/(rsinγ))

dla |argz| ≤ γ < \frac{π}{2}. Powyższa nierówność jest prawdziwa dla wszystkich ℜez > 0 i jeżeli dla 0 < δ < 1 położymy

γ = (\frac{π}{2} )(1 − δ) + δ|θ|,

to używaja̧c prostej nierówności

sin(δη) ≥ δsinη

prawdziwej dla 0 ≤ η ≤ \frac{π}{2} i 0 < δ < 1 otrzymujemy

|p_{z}(x, y)| ≤ C_{2}(δℜez)^{−d/2}exp(−\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}(1 − δ)cosθ/(rsinγ))

≤ C_{2}(δℜez)^{−d/2}exp(−\frac{1}{4}ρ(x, y)^{2}(1 − δ)ℜe(z^{−1})),

co dowodzi twierdzenia 5.3.

Dokończenie dowodu twierdzenia 5.2. Ze wzoru (36) wynika, że

< H_{s}(L)ϕ, ψ >= ∫_{0}^{∞} < C_{r}(\sqrt{L})ϕ, ψ > \frac{1}{\sqrt{πs}}e^{− \frac{r^{2}}{4s}} dr

dla ϕ, ψ ∈ L^{2}(dx). Sta̧d

s^{−1/2} < H_{(4s)^{−1}}(L)ϕ, ψ >= ∫_{0}^{∞}(πr)^{−1/2} < K_{C\sqrt{r}}(\sqrt{L})ϕ, ψ > e^{−sr}dr.

Innymi słowy funkcja v(s) = s^{−1/2} < H_{(4s)^{−1}}(L)ϕ, ψ > jest transformata̧ Fouriera- Laplaca funkcji w(r) = (πr)^{−1/2} < C\sqrt{r}(\sqrt{L})ϕ, ψ >. Jeżeli funkcje ϕ i ψ spełniaja̧ założenia twierdzenia, to z twierdzenia 5.3 wynika, że dla η = ρ(x, y) − ξ_{1} − ξ_{2} mamy

| < H_{(4s)^{−1}}(L)ϕ, ψ > | ≤ C_{δ}(ℜe s^{−1})^{−d/2}exp(\frac{4}{4 + δ} η^{2}ℜe s)

dla ℜe s^{−1} > 0. Sta̧d, na mocy jednej z wersji twierdzenia Paley-Wienera ([15] Theorem 7.4.3 str. 193) wynika, że

supp w(r) ⊂ [η^{2}(1 + δ/4)^{−1}, ∞). (74)

Ponieważ (74) jest spełnione dla wszystkich δ > 0, to jest to prawda również przy δ = 0 , co dowodzi twierdzenia 5.2.

Uwaga. Twierdzenie 5.2 można wykorzystać do dowodu twierdzenia 4.1. Przy czym do dowodu wystarcza̧ najsłabsze z rozważanych przez nas oszacowań gaussowskich dla ja̧der ciepła to znaczy oszacowania (52). Rzeczywiście kłada̧c w twierdzenia 5.2 b = \frac{4+ϵ}{4}, wobec oszacowań (52) otrzymujemy

supp K_{C_{t}(\sqrt{L})} ⊂ \{(x, y) ∈ M^{2} : ρ(x, y) ≤ t\frac{4 + ϵ}{4}\}.

Podobnie jak (74), ponieważ powyższa inkluzja jest prawdziwa dla wszystkich ϵ > 0, zatem musi być również prawdziwa dla ϵ = 0, co dowodzi twierdzenia 4.1. W ten sposób możemy otrzymać (58) i (59) nie odwołuja̧c siȩ do poprzedniego rozdziału.

6 Twierdzenie mnożnikowe dla podlaplasjanu na grupach jednorodnych.

Klasyczne twierdzenie mnożnikowe Hörmandera udowodnione w [14] (patrz również [15] Theorem 7.9.5 str. 243) mówi, że jeżeli funkcja F ∈ L^{∞}(IR^{n}) spełnia nastȩpuja̧cy warunek

∑_{|α|≤s} ∫_{R/2<|ξ|<2R} |R^{|α|}D^{α}F (ξ)| dξ/R^{n} ≤ C < ∞, (75)

dla wszystkich R > 0 i pewnej liczby naturalnej s > n/2, to operator mnożnikowy

T̂ ϕ(ξ) = F (ξ)ϕ̂(ξ)

można rozszerzyć do operatora cia̧głego na przestrzeniach L^{p} dla 1 < p < ∞ i słabego typu (1,1). Wiadomo (patrz [1]), że warunek (75) można zasta̧pić warunkiem

sup_{t>0} ∥η(| · |)F (t ·)∥_{H^{s}(IR^{n})} < ∞, dla pewnego s > n/2,

gdzie H^{s}(IR^{n}) jest przestrzenia̧ Sobolewa rzȩdu s, a η ∈ C_{c}^{∞}(IR_{+}) jest pomocnicza̧ funkcja̧ nie bȩda̧ca̧ tożsamościowo równa̧ zero. Zauważmy, że warunek ten nie zależy od wyboru funkcji η. Dla mnożników radialnych, to znaczy mnożników postaci F (|ξ|), gdzie F : IR_{+} ↦ IC, a | · | jest norma̧ euklidesowa̧ na IR^{n}, powyższy warunek jest równoważny z nastȩpuja̧cym założeniem

sup_{t>0} ∥η(·)F (t ·)∥_{H^{s}(IR_{+})} < ∞. (76)

Prosty rachunek dowodzi, że funkcja F (λ) spełnia warunek (76) wtedy i tylko wtedy gdy funkcja λ ↦ F (λ^{2}) spełnia ten warunek. Tak wiȩc twierdzenie Hörmandera daje również warunek wystarczaja̧cy na to by mnożnik spektralny operatora Laplace’a F (Δ), który możemy używaja̧c transformaty Fouriera zapisać wzorem F̂ (Δ)ϕ(ξ) = F (|ξ|^{2})ϕ̂(ξ) (77)

był operatorem cia̧głym na L^{p}(IR^{n}) i słabego typu (1.1).

Niech teraz {δ_{t}}_{t>0} bȩdzie rodzina̧ dylatacji na grupie jednorodnej G (patrz definicja 3.1). Zdefiniujmy działanie dylatacji δ_{t} na funkcji ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G) wzorem

δ_{t}ϕ(g) = ϕ(δ_{t}g)

Dalej dla systemu X_{1}, …, X_{k} pól wektorowych spełniaja̧cych warunek Hörmandera, zdefiniujmy operator 𝔏 wzorem

𝔏 = − ∑_{i=1}^{n} X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2} (78)

Każda grupa jednorodna jest unimodularna, wiȩc operator 𝔏 pokrywa siȩ z operatorami 𝔏_{l} i 𝔏_{r} zdefiniowanymi wzorami (38) (39), które dla grup unimodularnych sa̧ sobie równe. Załóżmy ponadto, że 𝔏 jest operatorem jednorodnym rzȩdu dwa, to znaczy

𝔏δ_{t}ϕ = t^{2}δ_{t}(𝔏ϕ).

Tak jak w poprzednich rozdziałach, bȩdziemy oznaczać przez L samosprzȩżony operator bȩda̧cy domkniȩciem operatora 𝔏 w L^{2}(dg) z przestrzeni C_{c}^{∞}(G). W [1] M. Christ udowodnił nastȩpuja̧ce twierdzenie, bȩda̧ce uogólnieniem twierdzenia mnożnikowego Hörmandera.

Twierdzenie 6.1 Załóżmy, że L jest samosprzȩżonym domkniȩciem jednorodnego operatora zdefiniowanego wzorem (78) na grupie jednorodnej G wymiaru jednorodnego Q (definicja 3.1). Ponadto niech funkcja F : IR_{+} ↦ IC spełnia warunek (76) dla pewnego s > Q/2. Wtedy operator F (L) zdefiniowany przy użyciu rozkładu spektralnego operatora L wzorem (21) jest cia̧gły na przestrzeniach L^{p}(G) dla 1 < p < ∞ i słabego typu (1,1).

Uwagi 1. Wcześniej słabsza̧ wersjȩ powyższego twierdzenia udowodnili Hulanicki i Stein ([8] str. 208-215). Wiȩcej informacji na temat historii twierdzeń mnożnikowych na grupach stratyfikowanych można znaleźć w [1].

2. Zauważmy, że jeżeli operator L jest jednorodny i system wektorów X_{1}, …, X_{k} spełnia warunek Hörmandera, to grupa G jest stratyfikowana i jej wymiar jednorodny Q jest liczba̧ naturalna̧, a system X_{1}, …, X_{k} musi być baza̧ przestrzeni 𝔤_{1} z definicji 3.3 grupy stratyfikowanej.

Hulanicki i Stein, a także Christ w swoich dowodach oparli siȩ na oszacowaniach ja̧dra ciepła generowanego przez operator L. Celem tego rozdziału jest pokazanie alternatywnego, prostego dowodu twierdzenia 6.1 opartego na własności skończonej prȩdkości propagacji rozwia̧zania równania fali. Dowód twierdzenia 6.1 poprzedzimy dowodem trzech lematów.

Lemat 6.1 Niech Δ_{Q} = −∂_{x_{1}} − … − ∂_{x_{Q}} bȩdzie laplasjanem na IR^{Q}, a L operatorem na grupie G spełniaja̧cym założenia twierdzenia 6.1. Wtedy

∫_{\{g∈G: |g|>r\}} |K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2} dg ≤ ∫_{\{x∈IR^{Q}: |x|>r\}} |K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}(x)|^{2} dx,

gdzie K_{F (\sqrt{L})}(g) i K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} sa̧ zdefiniowane tak jak w (40), ρ(·, ·) jest odległościa̧ podriemannowska̧ odpowiadaja̧ca̧ operatorowi L i |g| = ρ(g, e) a |x| jest norma̧ euklidesowa̧ na IR^{Q}.

Dowód. Jeżeli położymy F_{t}(x) = F (tx), to z jednorodności operatora L wynika, że δ_{t}^{−1}F (L)δ_{t} = F (t^{2}L) i δ_{t}^{−1}F (\sqrt{L})δ_{t} = F_{t}(\sqrt{L}). Sta̧d i z definicji (40) ja̧dra splotowego K_{F (\sqrt{L})} dostajemy

F_{t}(\sqrt{L})ϕ = δ_{t}^{−1}F (\sqrt{L})δ_{t}ϕ = δ_{t}^{−1}(δ_{t}ϕ ∗ K_{F (\sqrt{L})}) = ϕ ∗ (t^{−Q}δ_{t^{−1}}K_{F (\sqrt{L})}), K_{F_{t}(\sqrt{L})}(g) = t^{−Q}K_{F (\sqrt{L})}(δ_{t^{−1}}g). (79)

Zauważmy nastȩpnie, że ponieważ operator L jest lewostronnie niezmienniczy, wiȩc również mnożniki F (L) sa̧ lewoniezmiennicze i dlatego miara Plancherela μ_{y} zdefiniowana w lemacie 5.1, nie zależy od punktu y, (w dalszym cia̧gu bȩdziemy opuszczać indeks y) a ze wzoru (79) wynika, że

∫_{0}^{∞} |F_{t}(λ)|^{2} dμ(λ) = t^{−2Q} ∫_{G} |K_{F (\sqrt{L})}(δ_{t^{−1}}g)|^{2} dg (80)

= t^{−Q} ∫ |F (λ)|^{2} dμ(λ),

sta̧d dμ = λ^{Q−1} dλ. Ponieważ IR^{Q} jest również grupa̧ jednorodna̧ wymiaru Q, to z (80) wynika, że

∫_{G} |K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg = ∫_{IR^{Q}} |K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}|^{2} dx. (81)

Ja̧dro K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} możemy łatwo obliczyć, korzystaja̧c z transformaty Fouriera

K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} = F̂ (| · |). (82)

Niech teraz χ_{B(r)} oznacza funkcjȩ charakterystyczna̧ kuli euklidesowej o promieniu r w IR^{Q}. Ponieważ funkcje χ_{B(r)}K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} i (1 − χ_{B(r)})K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} sa̧ radialne, wiȩc istnieja̧ takie funkcje M^{r} : IR_{+} → IC i M_{r} : IR_{+} → IC, że

K_{M_{r}(\sqrt{Δ_{Q}})} = χ_{B(r)}K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})} i K_{M^{r}(\sqrt{Δ_{Q}})} = (1 − χ_{B(r)})K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}.

Na mocy twierdzenia 4.2 mamy

supp K_{M_{r}(\sqrt{L})} ⊂ b(r) = \{g ∈ G : |g| ≤ r\}. (83)

Oczywiście F = M_{r} + M^{r}, dlatego

K_{F (\sqrt{L})} = K_{M_{r}(\sqrt{L})} + K_{M^{r}(\sqrt{L})}

i na mocy (83)

K_{F (\sqrt{L})}(g) = K_{M^{r}(\sqrt{L})}(g) dla |g| > r. (84)

Sta̧d i z (81)

∫_{|g|>r} |K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg = ∫_{|g|>r} |K_{M^{r}(\sqrt{L})}|^{2} dg ≤ ∫_{G} |K_{M^{r}(\sqrt{L})}|^{2} dg

= ∫_{IR} |K_{M^{r}(\sqrt{Δ_{Q}})}|^{2} dx = ∫_{|x|>r} |K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}|^{2} dx,

co dowodzi lematu 6.1.

Na mocy lematu 6.1 dla funkcji F : IR_{+} → IC i liczby a > 0

∫_{G} |g|^{a}|K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2}dg = ∫_{G} ∫_{0}^{|g|}ar^{a−1}|K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2}drdg

= ∫_{0}^{∞}ar^{a−1} ∫_{|g|>r} |K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2}dgdr ≤ ∫_{0}^{∞}ar^{a−1} ∫_{|x|>r} |K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}(x)|^{2} dx dr

= ∫_{IR^{Q}} |x|^{a}|K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}(x)|^{2} dx.

Powyższe rachunki dowodza̧

Lemat 6.2 Dla dowolnego a > 0

∫_{G} |g|^{a}|K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2} dg ≤ ∫_{IR^{Q}} |x|^{a}|K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}(x)|^{2} dx.

W nastȩpuja̧cym lemacie przez X i \sqrt{L} bȩdziemy, przy pewnym nadużyciu notacji, oznaczać nie tylko lewoniezmiennicze pole wektorowe X i operator \sqrt{L} ale również takie dystrybucje na grupie G, że dla funkcji ϕ ∈ C_{c}^{∞}(G) mamy ϕ ∗ X = Xϕ i ϕ ∗ \sqrt{L} = \sqrt{L}ϕ.

Lemat 6.3 Jeżeli X_{i} jest jednym z pól definiuja̧cyh operator L, to

∫_{G} |g|^{a}|X_{i} ∗ K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg ≤ ∫_{IR^{Q+2}} |x|^{a}|K_{F (\sqrt{Δ_{Q+2}})}|^{2} dx.

Dowód. Ponieważ operatory F (\sqrt{L}) i \sqrt{L} komutuja̧, to

\sqrt{L} ∗ K_{F (\sqrt{L})} = \sqrt{L}K_{F (\sqrt{L})} = K_{F̃(\sqrt{L})},

gdzie F̃(λ) = λF (λ). Sta̧d

∫_{G} |X_{i} ∗ K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg = ∫_{G} −X_{i}^{2} ∗ K_{F (\sqrt{L})}\overline{K_{F (\sqrt{L})}} dg (85)

≤ ∫_{G} L ∗ K_{F (\sqrt{L})}\overline{K_{F (\sqrt{L})}} dg = ∫_{G} |\sqrt{L} ∗ K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg

= ∫_{G} |\sqrt{L}K_{F (\sqrt{L})}|^{2} dg = ∫_{G} |K_{F̃(\sqrt{L})}|^{2} dg

= ∫_{0}^{∞} |λF (λ)|^{2}λ^{Q−1} dλ = ∫_{IR^{Q+1}} |K_{F (\sqrt{Δ^{Q+2}})}|^{2}

Splot X_{i}∗ jest operatorem lokalnym to znaczy

(86) supp X_{i} ∗ ϕ ⊂ supp ϕ,

dla dowolnej funkcji f ∈ C^{∞}. Zauważmy teraz, że korzystaja̧c z warunków (85) i (86) możemy tak zmodyfikować dowódy lematów 6.1 i 6.2 by otrzymać lemat 6.3.

Dowód twierdzenia 6.1. Z warunku (76) wynika, że sup |F (λ)| < ∞ i na mocy twierdzenia spektralnego operator F (\sqrt{L}) jest cia̧głym operatorem na L^{2}(dg). Sta̧d z [2] (Théorème (2.4) str. 74) wynika, że do dowdu twierdzenia 6.1 wystarczy pokazać, że jeżeli F spełnia warunek (76), to

∫_{|g|>2|h|} |K_{F (\sqrt{L})}(g) − K_{F (\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg ≤ C ≤ ∞ (87)

Jeżeli Y_{1}, …, Y_{l} jest baza̧ ortonormalna̧ dla lewoniezmienniczej metryki riemannowskiej ρ(·, ·) i γ jest geodezyjna̧ realizuja̧ca̧ minimum odległości miedzy punktami e i h^{−1}, to

∫_{G} |ϕ(g) − ϕ(h^{−1}g)| dg ≤ ∫_{G} ∫_{0}^{ρ(e,h)} |\frac{d}{dt}ϕ(γ(t)g)| dtdg (88)

≤ ∫_{0}^{ρ(h,e)} ∑_{i} ∫_{G} |a_{i}(t)Y_{i} ∗ ϕ|(γ(t)g) dtdg ≤ lρ(e, h)Max_{i} ∫_{G} |Y_{i} ∗ ϕ| dg,

gdzie \frac{d}{dt}γ(t) = ∑_{i} a_{i}(t)Y_{i}. Ostatnia z nierówności (88) wynika sta̧d, że dla geodezyjnej ∑_{i} |a_{i}(t)|^{2} = 1. Zauważmy ponadto, że nierówności (88) zachodza̧ dla wszystkich lewoniezmienniczych metryk riemanowskich na danej grupie i dlatego z lematu 2.4 wynika, że również jeżeli system X_{1}, …, X_{k} spełnia warunek Höramandera, to

∫_{G} |ϕ(h^{−1}g) − ϕ(g)| dg ≤ l|h|Max_{i} ∫_{G} |X_{i} ∗ ϕ| dg, (89)

gdzie |h| jest odległościa miedzy h i e w odpowiadaja̧cej układowi X_{1}, …, X_{k} metryce podriemanowskiej.

Jeżeli 0 < a < b < ∞ i supp F ∈ (a, b), to

c_{Q}∥F (·)∥_{H^{s}(IR_{+})} ≥ ∥F (| · |)∥_{H^{s}(R^{Q})}, (90)

przy czym wartość stałej c_{Q} zależy tylko od a,b i Q. (Dokładniej obie te normy sa̧ tu równoważne.) Z drugiej strony z definicji przestrzeni Sobolewa

∫_{IR^{Q}} (1 + |x|^{2})^{s}|K_{F (\sqrt{Δ_{Q}})}|^{2} dx = ∥F (| · |)∥_{H^{s}(IR_{Q})}^{2}, (91)

∫_{IR^{Q}} (1 + |x|^{2})^{s}|K_{F (\sqrt{Δ_{Q+2}})}|^{2} dx = ∥F (| · |)∥_{H^{s}(IR_{Q+2})}^{2} (92)

Z (90), (91) i (92) na mocy lematu 6.2 i 6.3 otrzymujemy, że jeżeli supp F ⊂ (a, b), to

(∫_{G} |K_{F (\sqrt{L})}|^{2}(1 + |g|^{2})^{s} dg)^{\frac{1}{2}} ≤ c_{Q}∥F ∥_{H^{s}(IR_{+})}, (93)

(∫ |X_{i} ∗ K_{F (\sqrt{L})}(g)|^{2}(1 + |g|^{2})^{s} dg)^{\frac{1}{2}} ≤ c_{Q+2}∥F ∥_{H^{s}(IR_{+})}. (94)

Z (93) na mocy nierównści Schwartza mamy

∫_{|g|>t} |K_{F (\sqrt{L})}(g)| dg ≤ t^{Q/2−s}C_{1}∥F ∥_{H^{s}(IR_{+})}, (95)

Ponownie korzystaja̧c z nierówności Schwartza, z (94) i oszacowań (89) otrzymujemy

∫ |K_{F (\sqrt{L})}(g) − K_{F (\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg ≤ C_{2}|h|∥F ∥_{H^{s}(IR_{+})}, (96)

Niech teraz η ∈ C_{c}^{∞}(IR_{+}) bȩdzie taka̧ funkcja̧, że supp η ⊂ (a, b) dla pewnych a, b ∈ IR_{+} i

∑_{−∞}^{∞} η(2^{i}λ) = 1,

a F bȩdzie funkcja̧ spełniaja̧ca̧ warunek (76). Połóżmy F_{i}(λ) = F (λ)η(2^{i}λ) i F̃_{i}(λ) = F_{i}(2^{−i}λ). Oczywiście supp F̃_{i} ⊂ (a, b). Niech nastȩpnie

C = max{C_{1}, C_{2}} sup_{t>0} ∥η(| · |)F (t ·)∥_{H^{s}(IR^{n})}.

Na mocy (95) i (96) mamy

∫_{|g|>|h|} |K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(g)| dg ≤ C(|h|)^{Q/2−s}

oraz

∫_{G} |K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(g) − K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg ≤ C|h|,

Sta̧d na mocy wzoru (79) mamy

∫_{|g|>|h|} |K_{F_{i}(\sqrt{L})}(g)| dg = 2^{−iQ} ∫_{|g|>|h|} |K_{F (\sqrt{L})}(δ_{2^{−i}}g)| dg

= ∫_{|g|>2^{−i}|h|} |K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(g)| dg ≤ C(2^{−i}|h|)^{Q/2−s}

oraz

∫_{G} |K_{F_{i}(\sqrt{L})}(g) − K_{F_{i}(\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg
= 2^{−iQ} ∫_{G} |K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(δ_{2^{−i}}g) − K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(δ_{2^{−i}}(h^{−1}g))| dg
= ∫_{G} |K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}(g) − K_{F̃_{i}(\sqrt{L})}((δ_{2^{−i}}h^{−1})g)| dg ≤ C2^{−i}|h|,

Sta̧d, ponieważ F = ∑_{−∞}^{∞} F_{i}, mamy

∫_{|g|>2|h|} |K_{F (\sqrt{L})}(g) − K_{F (\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg

≤ ∑_{−∞}^{∞} ∫_{|g|>2|h|} |K_{F_{i}(\sqrt{L})}(g) − K_{F_{i}(\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg

≤ 2 ∑_{−∞<i≤m} ∫_{|g|>|h|} |K_{F_{i}(\sqrt{L})}(g)| dg

+ ∑_{i=m+1}^{∞} ∫_{G} |K_{F_{i}(\sqrt{L})}(g) − K_{F_{i}(\sqrt{L})}(h^{−1}g)| dg

≤ C (2 ∑_{−∞<i≤m}(2^{−i}|h|)^{Q/2−s} + ∑_{i=m+1}^{∞}(2^{−i}|h|)) .

Wybieraja̧c m tak, by 1 ≤ 2^{−m}|h| ≤ 2 widzimy, że powyższa suma jest ograniczona niezależnie od wyboru |h|, co dowodzi (87) i twierdzenia 6.1.

Uwaga. W [21] D. Müller i E. M. Stein udowodnili, że dla pewnej klasy grup można w twierdzeniu 6.1 zasta̧pić wymiar jednorodny wymiarem euklidesowym grupy. W [21] udowodnino również, że jest to wtedy wynik optymalny. Dla trochȩ szerszej klasy grup, zawartej jednak w klasie grup nilpotentnych drugiego stopnia nilpotentności, twierdzenie mnożnikowe z wymiarem euklidesowym grupy udowodnił W. Hebisch w [12], a w [13] W. Hebisch i J. Zienkiewich udowodnili , że dla tej samej klasy grup twierdzenie to jest prawdziwe również dla innych operatorów jednorodnych . W ogólnym przypadku jednak nie wiadomo jakie sa̧ optymalne założenia dla twierdzenia mnożnikowego. Inny ciekawy dowód twierdzenia 6.1 jest zawarty w pracy [18].

References

[1] M. Christ, L^{p} bounds for spectral multipliers on nilpotent groups, Trans. Amer. Math. Soc. 328, 1991, str. 73-81.

[2] R. R. Coifman i G. Weiss, Analyse harmonique non-commutative sur cerains Espaces homogenes, Springer 1971.

[3] Th. Coulhon, Iteration de Moser et estimation Gaussienne du noyau de la chaleur, to appear in J. Oper. Th.

[4] E. B. Davies Heat kernels and spectral theory, Cambridge Univ. Press 1989.

[5] E. B. Davies Explicit constants for gaussian upper bounds on heat kernels, Amer. J. Math. 109, 1987, str. 319-334.

[6] E. B. Davies i M. M. H. Pang Sharp heat kernel bounds for some Laplace operators, Quart. J. Math. Oxford (2), 40,1989, str. 281-290.

[7] G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Math. Notes, Princeton Univ. Press 1976.

[8] G. B. Folland, E. M. Stein, Hardy spaces on homogeneous group, Math. Notes, Princeton Univ. Press, 1982.

[9] J. Gale, T. Pytlik, Symbolic calculus for infinitesimal generators of holomorphic semigroup, preprint.

[10] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, Warszawa 1987.

[11] W. Hebisch, A. Sikora, A smooth subadditive homogeneous norm on a homogeneous group, Studia Mathematica, T. XCVI, 1990, str. 231-236.

[12] W. Hebisch, Multiplier theorem on generalized Heisenberg groups, preprint.

[13] W. Hebisch, J. Zienkiewicz, Multiplier theorem on generalized Heisenberg groups II, preprint.

[14] L. Hörmander, Esimates for translation invariant operators in L^{p} spaces, Acta Math. 104, 1960, str. 93-139.

[15] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators 1, Springer 1983.

[16] L. Hörmander, Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119, 1967, str. 147-171.

[17] A. Hulanicki and J. W. Jenkins, Almost everywhere summability on nilmanifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 278, 1983, str. 703-715.

[18] G. Mauceri, S. Meda, Vector-Valued multipliers on stratified groups, Rev. Mat. Iberoamericana, 6, 1990, str. 141-154.

[19] R. Melrose, Propagation for the wave group of a positive subelliptic second order differential operator, Tanigushi Symp. HERT Katata 1984, str. 181-192.

[20] S. A. Molchnov, Diffusion processes and Riemannian geometry, Russian Math. Surveys 30:1,1975, str. 1-63

[21] D. Müller, E. M. Stein, On spectral multipliers for a class of nilpotent groups, preprint.

[22] A. Sikora Multiplicareurs associés aux souslaplaciens sur les groupes homogènes, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 315, Série I, 1992 str. 417-419.

[23] A. Sikora Sharp pointwise estimates on heat kernels, preprint.

[24] R. S. Strichartz, Sub-Riemannian Geometry, J. Differential Geometry 24, 1986, str. 221-263.

[25] M. Taylor, Pseudodifferential operators, Princeton Univ. Press 1981.

[26] N. Th. Varopoulos, Analis on Lie Group, J. Funct. Anal. 76, 1988, str. 346-410.

[27] N. Th. Varopoulos, L. Saloff-Coste, T. Coulhon, Analysis and geometry on Groups Cambridge Univ. Press 1992.